×

On multiplicative representations of integers. (English) Zbl 0327.10004

Seien \(A= \{a_1< \ldots <a_k \}\) und \(B= \{b_1< \ldots <b_\ell \}\) Mengen \(\subseteq \mathbb N \cap [1,x]\). Dann wird ein einfacher Beweis des folgenden Satzes von Szemerédi gegeben:
Theorem 1. Wenn die Produkte \(a_ib_j\) alle verschieden sind, dann gilt \(k \ell < cx^2/\log c\) mit einer Konstanten \(c\).
Sei \(g(n)\) die Anzahl der Lösungen von \(a_ib_j = n\). Dann sagt Theorem 4:
Zu jedem \(c\) gibt es ein \(f(c)\), so daß für \(A\) und \(B\) mit \(g(n) < c\) gilt
\[ k \ell < c_1x^2(\log\log x)^{f(c)}/\log x. \]
Für Theorem 3 wird für \(A\) und \(B\) noch vorausgesetzt \(A(x) > cx\), \(B(x) > cx\) und daß jedes \(m < x\) entweder \(\in A\) oder \(\in B\) ist. Dann gilt
\[ g(n) > (\log x)^{(1/4-\varepsilon) \log \log x} \]
für \(n < x\) und \(x > x_0(\varepsilon)\).
Manche Beweise sind nur skizziert. Die Verff. geben weiter verschiedene ungelöste Probleme.

MSC:

11B34 Representation functions
PDFBibTeX XMLCite