Erdős, Paul; Szemerédi, E. On multiplicative representations of integers. (English) Zbl 0327.10004 J. Aust. Math. Soc., Ser. A 21, 418-427 (1976). Seien \(A= \{a_1< \ldots <a_k \}\) und \(B= \{b_1< \ldots <b_\ell \}\) Mengen \(\subseteq \mathbb N \cap [1,x]\). Dann wird ein einfacher Beweis des folgenden Satzes von Szemerédi gegeben: Theorem 1. Wenn die Produkte \(a_ib_j\) alle verschieden sind, dann gilt \(k \ell < cx^2/\log c\) mit einer Konstanten \(c\). Sei \(g(n)\) die Anzahl der Lösungen von \(a_ib_j = n\). Dann sagt Theorem 4: Zu jedem \(c\) gibt es ein \(f(c)\), so daß für \(A\) und \(B\) mit \(g(n) < c\) gilt \[ k \ell < c_1x^2(\log\log x)^{f(c)}/\log x. \] Für Theorem 3 wird für \(A\) und \(B\) noch vorausgesetzt \(A(x) > cx\), \(B(x) > cx\) und daß jedes \(m < x\) entweder \(\in A\) oder \(\in B\) ist. Dann gilt \[ g(n) > (\log x)^{(1/4-\varepsilon) \log \log x} \] für \(n < x\) und \(x > x_0(\varepsilon)\). Manche Beweise sind nur skizziert. Die Verff. geben weiter verschiedene ungelöste Probleme. Reviewer: Erich Härtter (Mainz) Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 2 Documents MSC: 11B34 Representation functions PDFBibTeX XMLCite \textit{P. Erdős} and \textit{E. Szemerédi}, J. Aust. Math. Soc., Ser. A 21, 418--427 (1976; Zbl 0327.10004)