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On the integration of the differential equation \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0. \]. (Zur Integration der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0. \].) (German) JFM 03.0182.02

Es handelt sich um den allgemeinen Beweis des folgenden Fundamentalsatzes der Functionentheorie: “Bezieht man die Punkte einer Kreisfläche durch Coordinaten \(x, y\) auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem, so existirt zu dieser Kreisfläche immer eine und nur eine reelle Function \(u\) der Coordinaten \(x, y\) mit folgenden Eigenschaften: 1) Die Function \(u\) ist für die ganze Kreisfläche, den Rand einbegriffen, eine einwerthige und stetige Function des Ortes oder Punktes \(x, y\) und stimmt am Rande vollständig mit einer für den Rand willkürlich angenommenen, längs des Randes allenthalben stetigen Functionen überein. 2) Die sämmtlichen Derivirten der Function \(u\) von angebbarer Ordnung sind im Innern der Kreisfläche, d. h. bis in jede endliche Nähe zum Rande, einwerthig und stetig, und die zweiten Derivirten genügen der Gleichung \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.\text{''} \] Um eine Function \(u\) mit den erwähnten Eigenschaften zu erhalten, stellte man für \(u\) die bekannte Reihenentwickelung auf, die auf dem Rande der Kreisfläche in eine Fourier’sche Reihe übergeht (vergl. C. Neumann, das Dirichlet’sche Princip etc., p. 5). Dieses Verfahren beruht aber auf der unbewiesenen Voraussetzung von der Darstellbarkeit einer jeden einwerthigen, stetigen, reellen, und mit der Periode \(2\pi\) periodischen Function \(f(\varphi)\) des reellen Argumentes \(\varphi,\) für jeden Werth des Argumentes, durch eine Fourier’sche Reihe. Herr Prym abstrahirt desshalb von dem Verlangen, der Ausdruck \(u\) solle auf dem Rande selbst, seinem Werthe nach, mit einer für den Rand willkürlich angenommenen Function übereinstimmen, und beschränkt sich darauf, von einem Ausdrucke in \(x, y,\) der die übrigen für \(u\) aufgestellten Eigenschaften besitzt, zu zeigen, dass sein Werth, wenn der Punkt \(x, y\) sich einem Randpunkte unbegrenzt nähert, ohne Unterbrechung der Stetigkeit gegen den Werth convergirt, den die für den Rand willkürlich fixirte Function in dem betreffenden Randpunkte besitzt. Zu dem Ende benutzt er die von Herrn C. Neumann (Borchardt J. LIX., 364) aufgestellte Form \[ u = \frac{1}{2\pi} \int_{q = C - \pi}^{\varphi = C + \pi} f(\varphi)\; \frac{(R^2 - r^2)\; d \varphi}{R^2 - 2Rr \cos\; (t - \varphi) + r^2} \] und beweist damit den obigen Satz ganz allgemein. Es ist dieses dieselbe Function \(u,\) welche gleichzeitig zu gleichem Zwecke Herr Schwarz benutzt hat (Wolf J. XV., 113-128, vergl. Fortschr. d. M. II., 214 sq., JFM 02.0214.01, JFM 02.0214.02 und JFM 02.0214.03), doch sind der Gang des Beweises und die angewandten Methoden verschieden.
Nach Einführung der Function \(u\) und der für \(f(\varphi)\) nöthigen Bestimmungen, wobei zugleich der Fall betrachtet wird, dass die für den Rand gegebene Function eine endliche Anzahl von Stetigkeitsunterbrechungen besitzt, die durch sprungweise Aenderungen um endliche Grössen hervorgerufen werden, wird zunächst bewiesen, dass \(u\) für jeden Punkt \(P\) in der Kreisfläche mit dem Radius \(R\) eine reelle Function der Coordinaten \(x, y\) darstellt, die mit ihren sämmtlichen Derivirten von angebbarer Ordnung im Innern der Fläche allenthalben einwerthig und stetig ist, und deren zweite Derivirte der Gleichung \[ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0 \] genügen. Alsdann wird das Verhalten des Ausdrucks \(u\) untersucht, wenn \(P\) dem Rande der Kreisfläche sich nähert. Um die Richtung zu fixiren, in der \(P\) gegen den Randpunkt \(O'\) anrückt, werden Polarcoordinaten \(\varrho\) und \(\tau\) von dem Punkt \(O'\) als Pol aus eingeführt. Für diejenigen Werthe \(\alpha\) von \(\varphi\), für welche \(f(\varphi)\) springt, ergiebt sich dann das Resultat: \[ (15)\qquad \lim_{\varrho = 0} u_{\frac{\varrho}{R},\tau} = f(\alpha - 0) + \frac{\tau}{\pi}\; [f(\alpha + 0) - f(\alpha - 0)]. \] Nachdem nun noch die Frage erledigt ist, ob es ausser der dargestellten Function \(u\) noch eine zweite Function \(u_{1}\) mit denselben Eigenschaften giebt, ist der oben genannte Satz in allen seinen Theilen bewiesen.
Die Function \(u\) lässt sich ausser durch das obige bestimmte Integral noch durch eine unendliche Reihe ausdrücken, die sich in Bezug auf ihr Verhalten auf dem Rande der Kreisfläche wesentlich von ersterem unterscheidet. Zum Schluss betrachtet der Herr Verfasser das Integral \[ U_{F'} = \iint_{F'} \left\{\left(\frac{\partial u}{\partial x} \right)^{2} + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2} \right\} dx dy, \] ausgedehnt über die Fläche \(F'\) eines dem obigen Kreise concentrischen Kreises mit kleinerem Radius \(R'\), und untersucht den Grenzwerth dieses Doppelintegrals, wenn \(F'\) durch Vergrösserung von \(R'\) sich \(F\) nähert. Diese Untersuchung ist gleichsam eine Ergänzung zu dem Art. 17 der Riemann’schen Dissertation, indem sie zeigt, dass eine sammt ihren ersten Derivirten einwerthige und stetige Function \(\lambda\) von \(x\) und \(y\) sich nicht einer Function \(\mu\), die in einem Punkte derartig unstetig ist, dass ihr Werth von der Annäherungsrichtung abhängt, annähern kann, ohne dass das Integral \(\varOmega \; (\lambda)\) aufhört endlich zu sein. Aus der Untersuchung des Falles, dass die Function \(f(\varphi)\), mit der eine Function \(u\) am Rande übereinstimmt, allenthalben stetig ist, ergiebt sich endlich, dass auch in diesem Fall noch nicht das Endlichsein des über die Kreisfläche auszudehnenden Integrales \(U_{F}\) geschlossen werden darf.

MSC:

31A05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions in two dimensions
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Full Text: DOI Crelle EuDML