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Étude des normes dans les extensions à groupe de Klein. (French) Zbl 0244.12007

Considérons l’équation en \(\delta\) (de \(K\)) \[ N_{K/k}(\delta)=A, \tag{1} \] où \(k\) est un corps, \(A\in k^*\), \(K = k(\sqrt a, \sqrt b)\) avec \(a,b,ab\) éléments de \(k\) non carrés dans \(k\). On peut se poser les problèmes suivants: existence de solutions en \(\delta\) (de \(K\)) lorsque \(\delta\) (de \(K\)) \(A,a,b\) sont fixés; – détermination de l’une de ces solutions; – détermination de toutes les solutions.
On peut les ramener à des problèmes des représentation de rationnels par des formes quadratiques. Si \(k\) est un corps global, on peut utiliser le théorème de Minkowski-Hasse. Plus particulièrement encore si \(k\) est le corps \(\mathbb Q\) des rationnels, on peut expliciter tous les calculs. On démontre alors que, si (1) a des solutions, celles-ci sont données par un nombre fini de formules \[ \delta = \delta_1\frac{\xi\eta}{\sigma(\xi)\tau(\eta)} \] où \(\xi\) et \(\eta\) sont des nombres arbitraires de \(K\), où \(\delta_1\) est un nombre de \(K\) appartenant à un ensemble fini et où \(\sigma\) et \(\tau\) sont les automorphismes de \(K\) sur \(\mathbb Q\) qui conservent respectivement \(\sqrt{b}\) et \(\sqrt{a}\) en changeant de signe \(\sqrt{ab}\). La recherche des \(\delta\) équivaut à la recherche de premiers dans des progressions arithmétiques. Nous obtenons en outre des renseignements relatifs avec groupes des normes sur \(\mathbb Q\): \(N,N_1,N_2,N_3\) respectivement dans les corps \(K\), \(\mathbb Q(\sqrt{a})\), \(\mathbb Q(\sqrt{b})\), \(\mathbb Q(\sqrt{ab})\) et au groupe \(E\) des nombres de \(\mathbb Q\) qui sont normes dans chacune des extensions \(\mathfrak G\)-adiques de \(K\) \[ E= N \cdot \mathbb Q^* = N_1 \cap N_2 = N_2\cap N_3 = N_1\cap N_3. \] De plus, si l’un des degrés locaux de \(K\) est égal à \(4\), on obtient \(N = N_1\cap N_2 =E\). Si tous les degrés locaux de \(K\) sont inférieurs ou égaux à \(2\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, \(N\) est un sous-groupe d’indice \(2\) de \(E\).
Reviewer: Christian Pitti

MSC:

11R21 Other number fields
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