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A transcendence theorem for class-number problems. II. (English) Zbl 0244.12004

Dans la première partie [ibid. 94, 153–173 (1971; Zbl 0229.12010)], l’A. avait établi un théorème sur les formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques, ce qui lui avait permis de déterminer tous les corps quadratiques imaginaires de nombre de classes 2. Parallèlement et indépendamment, A. Baker [Ann. Math. (2) 94, 139–152 (1971; Zbl 0219.12008)] avait effectué un travail analogue, et, en combinant ces deux méthodes, A. Baker et l’A. [Ann. Math. (2) 94, 190–199 (1971; Zbl 0219.12009)] avaient obtenu une amélioration de leurs minorations de formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques.
Dans ce papier, l’A. continue ces investigations et obtient un nouvel énoncé sur ces formes linéaires. Il en déduit que, \(d\) étant le discriminant d’un corps quadratique imaginaire de nombre de classes \(h(d)\), si \(h(d) =2\), alors \(d<10^{1030}\); et si \(h(d) = 1\) alors \(d<10^{130}\). De plus, certains résultats partiels sont donnés dans le cas \(h(d) = 4\).
D’ailleurs, l’étude de la classification effective des corps quadratiques imaginaires de nombre de classes une puissance de 2 a été commencée par L. J. Goldstein [J. Number Theory 4, 286–301 (1972; Zbl. 236.12007)], à partir d’une conjecture sur les formes linéaires de nombres algébriques.
Enfin l’A. annonce la majoration: si \(h(d) = 2\), alors \(d\le 427\).
Un exposé général des problèmes de nombre de classes de corps quadratiques imaginaires a été présenté par A. Baker [Bull. Am. Math. Soc. 77, 678–684 (1971; Zbl 0221.12006)].

MSC:

11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R11 Quadratic extensions
11J86 Linear forms in logarithms; Baker’s method
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