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Lectures on transcendental numbers. (English) Zbl 0224.10031

The Ramanujan Institute Lecture Notes. 1. Madras: The Ramanujan Institute. iii, 73 p. $ 2.00 (1969).
Im ersten Kapitel dieser hektographierten Vorlesungsausarbeitung werden einige später benötigte Definitionen sowie einfache Sätze über algebraische Zahlen und Zahlkörper angegeben.
Das zweite beginnt mit einem Transzendenzbeweis für die Zahl \(e\). Daran schließen sich fünf Formulierungen des Lindemann-Weierstraßschen Satzes an, deren Äquivalenz nachgewiesen wird. Diejenige Formulierung wird bewiesen, die es gestattet, die Ideen des vorgeführten Beweises für Hermites Satz in vollem Umfang zu übernehmen und durch Hinzufügung eines einfachen Gedankens zu einem Beweis des allgemeineren Satzes zu gelangen.
Das dritte Kapitel ist dem Gel’fond-Schneiderschen Satz gewidmet. Zunächst wird dieser Satz gefolgert aus einer auf ganze Funktionen spezialisierten Form des Hauptsatzes zweier neuerer Arbeiten des Verf. [Acta Arith. 14, 65–72 (1968); 14, 73–88 (1968; Zbl 0176.33101)]. Die hier bewiesene Form dieses Hauptsatzes liefert als Korollar z.B. auch die Transzendenz mindestens einer der Zahlen \(2^\pi\), \(2^{\pi^2}\), \(2^{\pi^3}\). Sodann wird der Beweis eines von T. Schneider [Einführung in die transzendenten Zahlen. Berlin: Springer-Verlag (1957; Zbl 0077.04703), Satz 13] herrührenden Satzes gegeben, der sich auf die algebraische Abhängigkeit zweier meromorpher Funktionen bezieht, die geeigneten analytischen und arithmetischen Bedingungen genügen. Aus diesem Satz wird der Gel’fond-Schneidersche Satz nochmals abgeleitet; ferner wird die bekannte Tatsache über die Modulfunktion \(j(\tau)\) gezeigt: Ist \(\alpha\) algebraisch, aber nicht imaginär-quadratisch, so ist \(j(\alpha)\) transzendent.
Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit der Approximation algebraischer Irrationalitäten durch rationale Zahlen. Zunächst wird das elementare Liouvillesche Ergebnis gezeigt und eine kurze Übersicht über die historische Entwicklung dieses Problems gegeben. Der weitaus größte Teil dieses Kapitels ist einer detaillierten Darstellung des Beweises für das abschließende Resultat von K. F. Roth gewidmet. Jedem Kapitel ist ein kleines Literaturverzeichnis angefügt; eine Liste der Druckfehler, die allerdings etwa doppelt so lang sein müßte, beschließt die Schrift.

MSC:

11J81 Transcendence (general theory)
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11J68 Approximation to algebraic numbers
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