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Éléments de géométrie algébrique. I. (English) Zbl 0203.23301

Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 166. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. ix, 466 p. (1971).
Das Lehrbuch ist das erste Kapitel einer Neubearbeitung der berühmten “Éléments de géométrie algébrique” (EGA), herausgegeben in den Publications Mathématiques, Inst. Haut. Étud. Sci., ab 1960 [man vgl. Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 4, 1–228 (1960); ibid. 8, 1–222 (1961); ibid. 11, 349–511 (1962; Zbl 0118.36206)]. Es ist geplant, die Kapitel II bis XII ebenfalls in der „Gelben Reihe“ folgen zu lassen. Bei dem vorliegenden Buch handelt es sich im wesentlichen um das erste Kapitel der ersten Ausgabe. Der Stil der Darstellung ist derselbe geblieben. Viele Passagen sind direkt übernommen worden. Die Umstellungen, die vorgenommen wurden, resultieren vor allem daraus, daß das Darstellungsproblem, zu dem die Kategorie der Schemata Anlaß gibt, von Anfang an in den Vordergrund rückt. Dies wird in der Einleitung ausführlich motiviert.
Einige Änderungen gegenüber der ersten Ausgabe seien hier erwähnt:
Die Präliminarien beginnen mit dem Paragraphen über darstellbare Funktoren.
Der Begriff „Präschema“ entfällt. Es wird durch „Schema“ ersetzt. Ein „Schema“ im früheren Sinne heißt jetzt „Separiertes Schema“.
Als zentraler Endlichkeitsbegriff erscheint der des Morphismus von endlicher Darstellung. Der Morphismus \(f: X\to Y\), \(X,Y\) Schemata, heißt von endlicher Darstellung, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(i) \(f\) ist lokal von endlicher Darstellung (d.h.: zu jedem Punkt \(x\in X\) existiert eine affine Umgebung \(U\) von \(x\) in \(X\) und eine affine Umgebung \(V\) von \(f(x)\) in \(Y\) mit \(f(U)\subseteq V\), so daß der Schnittring \(A(U)\) über \(U\) eine \(A(V)\)-Algebra der Form \(A(V)[X_1, \ldots, X_n]/(f_1,\ldots, f_n)\) ist).
(ii) \(f\) ist quasikompakt (d.h. \(f^{-1}(V)\) ist quasikompakt, falls \(V\) offen und quasikompakt in \(Y\) ist).
(iii) \(f\) ist quasisepariert (d.h.: die Diagonalabbildung \(\Delta_f: X \to X\times_Y X\) ist quasikompakt).
Es wird der Satz von Chevalley in folgender Form bewiesen: Ist \(f: X\to Y\) ein Morphismus von endlicher Darstellung, so ist das Bild einer konstruierbaren Menge in \(X\) konstruierbar in \(Y\).
Der Begriff „konstruierbar“ wird in §2 der Präliminarien ausführlich besprochen. \(Z\subseteq X\) heißt global konstruierbar in \(X\), wenn \(Z\) endliche Vereinigung von Mengen der Form \(U\cap \text{C}V\) ist, wobei \(U\) und \(V\) offene retrokompakte Mengen in \(X\) sind \((U\subseteq X\) heißt retrokompakt in \(X\), wenn \(U\cap W\) quasikompakt ist für jede offene quasikompakte Menge \(W\subseteq X)\). \(Z\subseteq X\) heißt konstruierbar in \(X\), wenn zu jedem \(x\in X\) eine Umgebung \(W\) existiert, so daß \(W\cap Z\) in \(W\) global konstruierbar ist.
Ein weiterer zusätzlicher Paragraph behandelt einige elementare darstellbare Funktoren bzw. die Schemata, die diese Funktoren darstellen. Dazu gehören u.a. \((S\) sei Schema, \(Y\) ein Schema über \(S)\): das Spektrum einer quasikohärenten \(\mathcal O_S\)-Algebra \(\mathcal B\); es stellt den Funktor \(Y \rightsquigarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal O_S\text{-Alg}}(\mathcal B, \mathcal A(Y))\) dar; das Vektorbündel \(\underline{V}(\mathcal E)\) eines quasikohärenten \(\mathcal O_S\)-Moduls \(\mathcal E\), das den Funktor \(Y \rightsquigarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal O_Y}(\mathcal E_{(Y)},\mathcal O_Y)\) darstellt; das Gruppenschema \(\mathrm{GL}(\mathcal E)\), wobei \(\mathcal E\) ein lokal freier \(\mathcal O_S\)-Modul von lokal endlichem Rang ist, es stellt den Funktor \(Y \rightsquigarrow \operatorname{Aut}_{\mathcal O_Y}(\mathcal E_{(Y)}\) dar; die Grassmann-Schemata \(\underline{\text{Grass}}_n(\mathcal E)\), \(n\ge 1\), mit \(\underline{P}(\mathcal E) := \underline{\text{Grass}}_1 (\mathcal E)\), \(\mathcal E\) quasikohärenter \(\mathcal O_S\)-Modul, die die Funktoren \(Y \rightsquigarrow \text{\text{Grass}}_n (\mathcal E_{(Y)})\) := Menge der Quotienten von \(\mathcal E_{(Y)}\), die lokal freie \(\mathcal O_Y\)-Moduln vom Rang \(n\) sind, darstellen; schließlich die Fahnen- und Stiefelbündel eines quasikohärenten \(\mathcal O_S\)-Moduls bzw. eines lokal freien \(\mathcal O_S\)-Moduls von konstantem endlichen Rang.
In einem Anhang wird die Sprache, die J.-P. Serre in seiner Arbeit FAC (Faisceaux Algébriques Cohérents) [Ann. Math. (2) 61, 197–278 (1955; Zbl 0067.16201)] benutzt, dargestellt. Es werden Ultraschemata eingeführt, die lokal zum maximalen Spektrum eines Jacobson-Ringes isomorph sind.
Reviewer: Uwe Storch

MSC:

14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
14Axx Foundations of algebraic geometry