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Mémoire sur l’équation aux différences partielles du quatrième ordre \(\varDelta \varDelta u=0\) et sur l’équilibre d’élasticité d’un corps solide. (French) JFM 02.0750.01

Liouville J. (2) XIV, 378-421 (1869); C. R. LXIX, 1019-1021 (1868).
Setzt man \[ \varDelta u= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}, \] so ist die Bedeutung des Resultates der wiederholten Operation \(\varDelta \varDelta u\) unmittelbar verständlich. Während nun die Theorie der Lösungen der Gleichung \(\varDelta u=0\) und ihre Anwendung auf die Potentiale in der Lehre von der Anziehung, der Elasticität und der Temperaturbewegung als bekannt angenommen, die dahin gehörigen Sätze jedoch noch einmal zusammengestellt werden, besteht die gegenwärtige Arbeit darin, analoge Sätze für die Lösungen der Gleichung \(\varDelta \varDelta u=0\) zu entwickeln, und darauf die Berechnung des Gleichgewichts der Elasticität in einer deformirten Platte, welche zu eben jener Differentialgleichung führt, zu gründen. Hierbei führt der Verfasser den Begriff eines zweiten Potentials ein. Bezeichnet nämlich \(r\) den Abstand zweier Körperelemente \((abc)\) und \((xyz)\), so ist \[ \varDelta \frac 1 r =0; \; \varDelta r=\frac 2 r; \; \text{also} \; \varDelta \varDelta r=0, \] und insofern dem ersten Potential \(\int\frac{\varrho} r \partial w\) als zweites Potential die Grösse \(\int \varrho r\partial w\) analog.
Zunächst wird von der bekannten Relation \[ \int v \varDelta u\partial w-\int u\varDelta v \partial w= \int v\frac{\partial u}{\partial n}\partial \sigma- \int u\frac{\partial v}{\partial n}\partial \sigma, \] wo \(\partial w\) ein Körperelement, \(\partial \sigma\) ein Element der Oberfläche, \(\partial n\) ein normales Linienelement nach der Aussenseite hin bezeichnet, ausgehend die analoge Formel entwickelt: \[ \int u \varDelta \varDelta u' \partial w- \int u'\varDelta \varDelta u \partial w= \int \left( u\frac{\partial \varDelta u'}{\partial n}- u' \frac{\partial \varDelta u}{\partial n} \right)\partial \sigma \]
\[ +\int \left( \varDelta u\frac{\partial u'}{\partial n}- \varDelta u' \frac{\partial u}{\partial n} \right) \partial \sigma \] Hiervon wird Anwendung gemacht auf den Fall \(u'=r\). Dazu war es nöthig, den Punkt \((abc)\), in welchen \(\frac 1 r\) unstetig wird, durch eine um denselben beschriebene Kugelfläche abzuschliessen. Man findet alsdann: \[ \int r \varDelta \varDelta u \partial w= \int \left( r\frac{\partial \varDelta u}{\partial n}- \varDelta u \frac{\partial r}{\partial n} \right)\partial \sigma + 2\int \left( \frac 1 r \frac{\partial u}{\partial n}- u\frac{\partial \frac 1 r}{\partial n} \right) \partial \sigma-8\pi u. \] Statt \(r\) kann man nun eine Function \(u'\) von \(a, b, c\) setzen, welche der Gleichung \(\varDelta \varDelta u'=0\), bezogen auf \(a, b, c\) genügt, und auf der Innenseite stetig ist.
Unter den weiteren Sätzen sind die folgenden zu nennen:
Auf einer Fläche \(\sigma\) lässt sich immer eine Massenschicht, und zwar nur auf eine Weise, so vertheilen, dass das zweite Potential auf der Fläche einen gegebenen Werth hat.
Jede Function \(u\), welche auf der Innenseite von \(\sigma\) der Gleichung \(\varDelta \varDelta u=0\) genügt und neben ihren Differentialquotienten bis zur dritten Ordnung stetig ist, ist die Summe eines ersten und eines zweiten Potentials je einer Schicht auf der Fläche.
Es existirt immer eine, und zwar nur eine Function \(u\), welche auf der Innenseite von \(\sigma\) der Gleichung \(\varDelta \varDelta u=0\) genügt, in obigen Sinne stetig ist, und deren Werth nebst \(\frac{\partial u}{\partial n}\) auf der Fläche gegeben ist; desgleichen, wenn \(\varDelta u\) statt \(\frac{\partial u}{\partial n}\) gegeben ist.
Genügt eine stetige Function von der Form \[ u=AR+B\cos\vartheta + C\sin\vartheta\cos\psi+D\sin\vartheta\sin\psi, \] wo \(R\) Radiusvector, \(\vartheta\) Breite, \(\psi\) Länge, \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) Constante für einen festen Anfangspunkt sind, auf der Aussenseite von \(\sigma\) der Gleichung \(\varDelta \varDelta u=0\) für sehr grosse \(R\), so ist sie die Summe eines ersten und eines zweiten Potentials je einer Schicht auf der Fläche.
Es wird dann weiter von der Gestaltung der Formeln und Sätze in Anwendung auf die Ebene gehandelt, und schliesslich die Berechnung der zwei Potentiale durch Reihenentwickelung beim Gleichgewicht der Elasticität in einer kreisförmigen und einer elliptischen Platte durchgeführt.

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Full Text: EuDML Gallica