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Bemerkungen über die Bewegung eines Punktes auf einer Fläche. (German) JFM 02.0704.02

Sind \(x\), \(y\), \(z\) die orthogonalen Coordinaten eines Punktes, \(X, Y, Z\) die Componenten der beschleunigenden Kräfte in der Richtung der Coordinatenaxen, so sind die Bewegungsgleichungen \[ \frac{d^2 x}{dt^2}=H.\cos a+X, \quad \frac{d^2 y}{dt^2}=H.\cos b+Y, \quad \frac{d^2 z}{dt^2}=H.\cos c+Z, \] wo \(H\) der normale Widerstand der Fläche und \(a, b, c\) die Winkel der Normalen im Punkte \(x, y, z\) mit den Coordinatenaxen sind. Denkt man sich nun auf der Fläche zwei Systeme von sich orthogonal schneidenden Curven, die von den Variabeln \(u\) und \(v\) abhängig sind, so gehen diese Gleichungen über in: \[ \cos a_1 \cdot \frac{d^2 x}{dt^2}+ \cos b_1 \cdot \frac{d^2 y}{dt^2}+\cos c_1 \cdot \frac{d^2 z}{dt^2} = \left( X \cdot \frac{dx}{du}+Y \cdot \frac{dy}{du}+Z \cdot \frac{dz}{du} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{E}}, \]
\[ \cos a_2 \cdot \frac{d^2 x}{dt^2}+\cos b_2 \cdot \frac{d^2 y}{dt^2}+ \cos c_2 \cdot \frac{d^2 z}{dt^2} = \left( X \cdot \frac{dx}{dv}+ Y \cdot \frac{dy}{dv}+Z \cdot \frac{dz}{dv} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{G}}, \] wo \[ E=\left( \frac{dx}{du} \right) ^2+ \left( \frac{dy}{du} \right) ^2 + \left( \frac{dz}{du} \right) ^2, \quad G=\left( \frac{dx}{dv} \right) ^2+ \left( \frac{dy}{dv} \right) ^2 + \left( \frac{dz}{dv} \right) ^2 \] und \(a_1, b_1, c_1\) resp. \(a_2, b_2, c_2\) die Winkel sind, welche die Tangenten in \((x, y, z)\) zu den Curven mit den Coordinatenaxen bilden, für welche \(u\) und \(v\) allein variiren. Bezeichnet \(ds\) das Bogenelement der Curve, welche der Punkt auf der Fläche beschreibt, und betrachtet man \(u\) und \(v\) als Functionen von \(s\), so erhält man: \[ (3.) \; \left\{ \begin{matrix} \frac{d^2 s}{dt^2}= \left( X \cdot \frac{dx}{du}+ Y \cdot \frac{dy}{du}+ Z \cdot \frac{dz}{du} \right) \frac{du}{ds}+ \left( X \frac{dx}{dv}+ Y \frac{dy}{dv}+ Z \frac{dz}{dv} \right) \frac{dv}{ds} \\ =X \frac{dx}{ds}+Y\frac{dy}{ds}+Z\frac{dz}{ds}, \end{matrix} \right. \]
\[ (4.) \quad \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{ds}{dt} \right)^2 \left[ \frac{d}{ds} \text{arc\,tang} \frac{\sqrt {G}}{\sqrt {E}} \frac{dv}{du}+ \frac{1}{\sqrt {E}} \frac{d \sqrt {G}}{du} \frac{dv}{ds}- \frac{1}{\sqrt {G}} \frac{d \sqrt {E}}{dv} \frac{du}{ds} \right] \\ =\left( X\frac{dx}{dv} + Y\frac{dy}{dv} + Z\frac{dz}{dv} \right) \cdot \sqrt {\frac{E}{G}} \cdot \frac{du}{ds} \\ -\left( X\frac{dx}{du} + Y\frac{dy}{du} + Z\frac{dz}{du} \right) \sqrt {\frac{G}{E}} \cdot \frac{dv}{ds} \\ =X\cos a_0 + Y\cos b_0 + Z\cos c_0, \end{matrix} \right. \] wo \(a_0, b_0, c_0\) die Winkel sind, welche eine Gerade mit den Coordinatenaxen bildet, die in der berührenden Ebene des Punktes \((xyz)\) liegt und zur Trajectorie des mobilen Punktes senkrecht ist. Ist ferner \(R\) der Krümmungshalbmesser des Normalschnitts, welcher durch die Trangente im Punkte \((xyz)\) der Trajectorie des mobilen Punktes geht, so erhält man: \[ \frac{1}{R} \left( \frac{ds}{dt} \right) ^2 = H+X\cos a + Y\cos b+Z\cos c. \] Findet das Princip der lebendigen Kraft statt, so dass \[ X=\frac{dP}{dx}, \quad Y=\frac{dP}{dy}, \quad Z=\frac{dP}{dz}, \] so geht (3.) über in: \[ \left( \frac{ds}{dt} \right) ^2 =2(P+h), \; (h \; constant). \] Man erhält daher statt (4.) \[ 2(P+h) \cdot \left[ \frac{d}{ds} \text{arc.tang} \frac{\sqrt{G}}{\sqrt{E}} \frac{dv}{du}+ \frac{1}{\sqrt{E}} \cdot \frac{d \sqrt{G}}{du} \frac{dv}{ds}- \frac{1}{\sqrt{G}} \cdot \frac{d \sqrt{E}}{dv} \frac{du}{ds} \right] \]
\[ = \frac{dP}{dv} \sqrt{\frac{E}{G}} \frac{du}{ds}- \frac{dP}{du} \sqrt{ \frac{G}{E}} \frac{dv}{ds} \cdot \] Schliesst man den Fall \(P\)=constant aus, so ergiebt sich zur Bestimmung von \(P\), wenn der Punkt eine kürzeste Linie beschreiben soll: \[ \frac{d}{du} \left\{ \frac{\frac{dP}{dv}\sqrt{EG}}{\sqrt{E \left( \frac{dP}{dv} \right) ^2 + G \left( \frac{dP}{dv} \right) ^2 }} \right\}= \frac{d}{dv} \left\{ \frac{\frac{dP}{du}\sqrt{EG}}{\sqrt{E \left( \frac{dP}{dv} \right) ^2 + G \left( \frac{dP}{du} \right) ^2 }} \right\} \cdot \]

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