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Prolongement analytique en dimension infine. (French) Zbl 0195.13001

L’A. généralise aux espaces de Banach non séparables des résultats de Coeuré en montrant les théorèmes suivants: \(E\) et \(F\) étant des espaces de Banach, \(U\) et \(V\) deux ouverts de \(E\) tels que \( U\subset V\). Si toute application analytique sur \(U\) à valeurs scalaires se prolonge en une application analytique sur \(V\) (on dit alors que \((U,V)\) est un couple de prolongement) il en est de même pour des applications analytiques à valeurs dans un espace de Banach (Théorème 1 qui est la réponse positive à une conjecture d’Alexander).
Sur l’espace \(\theta(U)\) des applications analytiques, l’A. introduit la topologie bornologique \(\theta_b(U)\) construite à partir de la topologie de la convergence compacte [qui, dans le cas séparable, est identique à a topologie introduite par Coeuré] et démontre le résultat suivant (Théorème 2):
Soit \((U,V)\) un couple de prolongement. L’application de restriction de \(\theta_b(V)\) dans \(\theta_b(U)\) est un homéomorphisme.
Pour finir, en reprenant un point de vue de Malgrange, le Théorème 3 montre pour des espaces étalés que, \(U\) étant donné, on peut trouver \(V\) tel que \((U,V)\) soit un couple de prolongement “maximal”.

MSC:

46-XX Functional analysis
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