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Introduction to \(p\)-adic numbers and valuation theory. (English) Zbl 0192.40103

Academic Paperbacks. New York and London: Academic Press. ix, 173 p. (1964).
In den ersten beiden Kapiteln bietet diese Buch eine elementare, nur geringe Vorkenntnisse aus der Algebra voraussetzende Einführung in die Theorie der Bewertungen (vom Range 1) und der \(p\)-adischen Zahlen. Insbesondere wird für Polynome über einem nichtarchimedisch bewerteten kompletten Grundkörper die Newtonsche Methode zur iterativen Bestimmung von Wurzeln übertragen und angewendet, um die Lösbarkeit von Gleichungen \(x^2 - a\), \(a\in\mathbb Z\), in den Körpern der \(p\)-adischen Zahlen zu untersuchen. Dabei ergibt sich auch, daß zwei zu verschiedenen Primzahlen gehörende \(p\)-adischen Zahlkörper niemals isomorph sein können.
Im 3. Kapitel werden Bewertungsringe, Stellen und Bewertungen von beliebigem Rang betrachtet und der Fortsetzungssatz für Stellen bewiesen. Nachdem im 4. Kapitel einige Hilfsmittel aus der Theorie der normierten linearen Räume und Banach-Algebren, zum Beispiel das Gel’fandsche Theorem, bereitgestellt worden sind, wird im 5. Kapitel das Problem der Fortsetzung einer Bewertung auf einen algebraischen Erweiterungskörper behandelt, für den nicht-archimedischen Fall mit Hilfe des Fortsetzungssatzes für Stellen und für den archimedischen Fall mittels des Gel’fandschen Theorems, wobei sich auch der alle archimedisch bewerteten Körper beschreibende Satz von Ostrowski ergibt.
Abschließend werden als Beispiele Bewertungen auf algebraischen Zahlkörper und diskrete Bewertungen untersucht.
Ein Anhang, der die wenigen benutzten Grundtatsachen aus Algebra und Zahlentheorie (ohne Beweise) zusammenstellt, und viele Übungsaufgaben erhöhen nur noch den Wert dieses Buches, das auf Grund seiner Darstellungsweise als Einführung für Anfänger geeignet ist, aber durchaus bis zu wesentlichen Resultaten der Theorie führt.

MSC:

11Sxx Algebraic number theory: local fields
12Jxx Topological fields
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory