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Perturbation theory for linear operators. (English) Zbl 0148.12601

Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 132. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. xx, 592 p. with 3 figures (1966).
Das vorliegende Buch, eine Kombination von Monographie und Lehrbuch, enthält die erste systematische Darstellung der „Störungstheorie linearer Operatoren“ (dieser Terminus wird verwendet, um von anderen mathematischen Störungstheorien, wie sie z. B. in der Himmelsmechanik oder der nichtlinearen Schwingungslehre vorkommen, zu unterscheiden), die sich im Laufe der letzten 15 Jahre zu einer eigenständigen mathematischen Disziplin entwickelt hat. Auf diese Entwicklung haben immer wieder Problemstellungen und Begriffsbildungen von physikalischer Seite her, insbesondere aus der Quantentheorie, fördernd eingewirkt. Der Verf. selbst hat an ihr bedeutenden Anteil. Sie ist auch heute noch keineswegs abgeschlossen. Vielmehr stehen gegenwärtig besonders die beiden im Buch behandelten Teildisziplinen „Asymptotische Störungstheorie“ (instabile Eigenwerte, Spektralkonzentration, Kapitel VIII) und „Störungstheorie des kontinuierlichen Spektrums“ (im Zusammenhang mit der Streutheorie der Quantenmechanik, Kapitel X) im Blickpunkt des Interesses. Man kann sicher sein, daß das Erscheinen des vorliegenden Buches dieser Entwicklung weiteren Auftrieb und neue Impulse geben wird.
Das Buch gliedert sich in 10 Kapitel. Da es sich auch an Physiker wendet, werden auch die der Funktionalanalysis angehörenden Grundlagen der Theorie in knapper Form dargestellt. Auszüge aus dem Inhalt in Stichworten mögen die Stoffverteilung erläutern.
Kapitel I. Operatortheorie in endlichdimensionalen Vektorräumen. Die grundlegenden Resultate der linearen Algebra meist ohne Beweise, die Operatoranalysis ausführlicher. Funktionentheoretische Untersuchung der Resolvente liefert die kanonische (Jordansche) Form eines Operators.
Kapitel II. Analytische Störungstheorie beliebiger Operatoren in endlichdimensionalen Räumen. Resolventeneigenschaften liefern die Störungsreihen für Eigenprojektoren und den Mittelwert einer A-Gruppe von Eigenwerten des gestörten Operators. Reduktionsmethode (für halbeinfache Eigenwerte). Abschätzung von Konvergenzradien und Fehlerabschätzungen. Nichtanalytische Störungen, Störung symmetrischer Operatoren.
Kapitel III. In sich geschlossene Einführung in später benötigte Teile der Theorie der Banachräume und ihrer Operatoren (nur die Beweise einiger fundamentaler Sätze sind weggelassen). Spektraltheorie mit Hilfe von Resolventeneigenschaften. Spektrumszerlegungssatz, endliche Systeme isolierter Eigenwerte.
Kapitel IV. Stabilitätseigenschaften der für die Anwendungen wichtigen relativ beschränkten Störungen. Definition des Begriffs einer „kleinen“ Störung eines abgeschlossenen Operators (mittels einer Metrik im Raum \(\mathcal C(X, X)\), die auf dem Begriff der Öffnung zweier Teilräume beruht – verallgemeinerte Konvergenz abgeschlossener Operatoren), Untersuchung von Stabilitätseigenschaften (z. B. Stabilität der beschränkten Invertierbarkeit, obere Halbstetigkeit des Spektrums, Stetigkeit der Resolvente). Stabilitätsaussagen für Fredholmsche und semi-Fredholmsche Operatoren (Indextheorem).
Kapitel V. Hilfsmittel aus der Theorie der Hilberträume (unter anderem Studium von akkretiven und \(m\)-akkretiven Operatoren sowie deren Quadratwurzeln). Störungen selbstadjungierter Operatoren (Stabilität der Selbstadjungiertheit, Störung des Spektrums, nichtselbstadjungierte Störung selbstadjungierter Operatoren). Anwendungen auf die Schrödinger- und Dirac-Operatoren der Quantenmechanik.
Kapitel VI. Sesquilinearformen und quadratische Formen (speziell sektorielle Formen) und zugeordnete Operatoren (1. und 2. Darstellungssatz). Theorie der (relativ beschränkten) Störungen der Formen bzw. der zugeordneten Operatoren und ihrer Resolventen. Anwendungen auf gewöhnliche Differentialoperatoren sowie den Laplace- und den Schrödinger-Operator. Spektralsatz selbstadjungierter Operatoren, Stabilitätseigenschaften der Spektralschar gestörter selbstadjungierter Operatoren.
Kapitel VII. Analytische Störungstheorie. Definition einer holomorphen Operatorschar sowie Herleitung verschiedener hinreichender Kriterien für die Holomorphie (dementsprechend Unterscheidung verschiedener Typen holomorpher Scharen, \(A\), \(B\), \(B_0\), \(C\)). Im übrigen, Übertragung der Sätze aus Kapitel II (Separation endlicher Eigenwertsysteme endlicher algebraischer Vielfachheit, funktionentheoretische Aussagen über gestörte Eigenwerte und Eigenprojektoren (Sätze von Rellich bzw. Verallgemeinerungen von Kato, Sz.-Nagy und Wolf), Störungsreihen, Reduktionsverfahren).
Kapitel VIII. Betrachtung allgemeinerer (nicht-holomorpher) Störungen (asymptotische Störungen). Definition mittels sogenannter verallgemeinerter starker Konvergenz, die auf der starken Konvergenz der Resolvente beruht. Möglichkeit der Instabilität eines isolierten Eigenwertes endlicher Vielfachheit (obere Halbstetigkeit des Spektrums ist verletzt). Stabilität eines isolierten Eigenwertes führt zur sogenannten asymptotischen Theorie der gestörten Eigenwerte und -vektoren (asymptotische Interpretation der formalen Störungsreihen), Instabilität zum Phänomen der Spektralkonzentration und der Theorie der Pseudoeigenwerte und -vektoren (neue Interpretation der formalen Störungsterme, soweit sie existieren).
Kapitel IX. Grundlegende Resultate der Operatorhalbgruppentheorie (quasibeschränkte, insbesondere holomorphe Halbgruppen). Störungstheorie und Approximationstheorie (nach Trotter) von Halbgruppen.
Kapitel X. Das kontinuierliche Spektrum eines selbstadjungierten Operators, absolutstetiges Spektrum. Störung des kontinuierlichen Spektrums (Satz von Weyl–von Neumann). Wellenoperatoren und ihre Eigenschaften. Existenz der Wellenoperatoren bei nuklearen Störungen liefert die Stabilität des absolutstetigen Spektrums und die Unitäräquivalenz der absolutstetigen Teile des ungestörten und gestörten Operators. Invarianz der Wellenoperatoren. Eine stationäre Methode [auf der Grundlage der \(\Gamma\)-Operationen (Friedrichssche Gleichungen)].
Die enge Verbindung der entwickelten Theorie zu Anwendungen wird deutlich durch ständig eingestreute, häufig später mit neuem Akzent wieder aufgenommene Beispiele (und auch Probleme), oft aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialoperatoren zweiter Ordnung. Der Leser ist dadurch angehalten, die allgemeinen Begriffsbildungen und Entwicklungen stets am konkreten Material zu überprüfen. Das Arbeiten mit dem Buch ist weiterhin erleichtert durch ein Register der verwendeten Symbole, ein Sach- und ein Autorenregister sowie eine umfangreiche Bibliographie (getrennt für Lehrbücher/Monographien und Originalarbeiten). (Interessant ist vielleicht, daß von den 281 aufgeführten Titeln 92% nach 1946 und 64% nach 1956 erschienen sind. Das zeigt, welche sprunghafte Entwicklung, jedenfalls gemessen an der Zahl der Publikationen, die Theorie besonders seit 1957 genommen hat.)

MSC:

47A55 Perturbation theory of linear operators
47A10 Spectrum, resolvent
47-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to operator theory
46Cxx Inner product spaces and their generalizations, Hilbert spaces
81Q15 Perturbation theories for operators and differential equations in quantum theory