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On Weyl’s criterion for uniform distribution. (English) Zbl 0119.28201

Es sei \(\{s_n (x)\}\) eine unendliche Folge von Funktionen, die auf einem Intervall \(a \leq x \leq b\) beschränkt und integrabel sind. \(S(N,x,m) = {1 \over N} \sum_{n=1}^N \exp (2 \pi i m s_n(x))\) (\(m\) ganz, \(\neq 0\)) seien die Weylschen Summen. Weiter sei \(I(N,m) = \int_a^b |S(N,x,m)|^2 \,dx\). Dann wird gezeigt: Ist die Reihe \(\sum_N {1 \over N}\) für jedes \(m \neq 0\) konvergent, dann ist die Zahlenfolge \(\{s_n(x)\}\) für fast alle \(x\) gleichverteilt mod 1. Weiter wird gezeigt, daß es zu jeder monoton wachsenden Funktion \(\Phi(m) \to \infty\) eine Folge \(\{s_n(x)\}\) gibt, die für kein \(x\) gleichverteilt ist und für die \(\sum_{N=1}^M {1 \over N} < \Phi(M)\).

MSC:

11J71 Distribution modulo one
11K06 General theory of distribution modulo \(1\)
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