Davenport, Harold; Erdős, Pál; LeVeque, William J. On Weyl’s criterion for uniform distribution. (English) Zbl 0119.28201 Mich. Math. J. 10, 311-314 (1963). Es sei \(\{s_n (x)\}\) eine unendliche Folge von Funktionen, die auf einem Intervall \(a \leq x \leq b\) beschränkt und integrabel sind. \(S(N,x,m) = {1 \over N} \sum_{n=1}^N \exp (2 \pi i m s_n(x))\) (\(m\) ganz, \(\neq 0\)) seien die Weylschen Summen. Weiter sei \(I(N,m) = \int_a^b |S(N,x,m)|^2 \,dx\). Dann wird gezeigt: Ist die Reihe \(\sum_N {1 \over N}\) für jedes \(m \neq 0\) konvergent, dann ist die Zahlenfolge \(\{s_n(x)\}\) für fast alle \(x\) gleichverteilt mod 1. Weiter wird gezeigt, daß es zu jeder monoton wachsenden Funktion \(\Phi(m) \to \infty\) eine Folge \(\{s_n(x)\}\) gibt, die für kein \(x\) gleichverteilt ist und für die \(\sum_{N=1}^M {1 \over N} < \Phi(M)\). Reviewer: Edmund Hlawka (Wien) Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 4 ReviewsCited in 45 Documents MSC: 11J71 Distribution modulo one 11K06 General theory of distribution modulo \(1\) Keywords:Weyl’s criterion; uniform distribution PDFBibTeX XMLCite \textit{H. Davenport} et al., Mich. Math. J. 10, 311--314 (1963; Zbl 0119.28201) Full Text: DOI