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On the number of representations of an integer as a sum of primes belonging to given arithmetical progressions. (English) Zbl 0099.03103

Seien \(K_1, \ldots, K_s\) natürliche Zahlen, sowie \(a_1,\ldots, a_s\) ganzrational mit \((a_\lambda, K_\lambda) = 1\) \((\lambda = 1,\ldots, s)\). Bezeichne \(N(n)\) die Anzahl aller Darstellungen der natürlichen Zahl \(n\) in der Form \(n = p_1+\ldots+p_s\) mit Primzahlen \(p_\lambda\), die den Bedingungen \(p_\lambda\equiv a_\lambda \bmod K_\lambda\) \((\lambda= 1,\ldots, s)\) genügen. In einer früheren Arbeit [J. Reine Angew. Math. 192, 210–229 (1954; Zbl 0055.03902)] bewies der Verf. für \(s > 2\) die asymptotische Beziehung \[ N(n) = S(n) n^{s-1}/(s_1)! (\log n)^s + O(n^{s-1} \log \log n/ (\log n)^{s+1})\quad\text{für }n\to \infty. \]
Dabei blieb das Problem einer expliziten Bestimmung der singulären Reihe \(S(n)\) ungelöst. In der vorliegenden Abhandlung wird diese Aufgabe erledigt. Ihre Lösung erlaubt u. a. eine schnelle Beantwortung der Frage nach dem Nichtverschwinden von \(S(n)\).
Reviewer: O. Körner

MSC:

11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes

Citations:

Zbl 0055.03902
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Full Text: Numdam EuDML

References:

[1] A. Zulauf [1] Über die Darstellung natürlicher Zahlen als Summen von Primzahlen aus gegebenen Restklassen und Quadraten mit gegebenen Koeffizienten, I: Resultate für genügend gro\beta e Zahlen , Journ. f. Math, 192 (1954), 210-229. · Zbl 0055.03902
[2] - - - ditto, II: Die singuläre Reihe , Journ. f. Math. 193 (1954), 39-53.
[3] - - - ditto, III: Resultate für fast alle Zahlen , Journ. f. Math. 193 (1954), 54-64. · Zbl 0056.03903
[4] J.G. Van Der Corput [4] Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten , Math. Annalen. 116 (1938), 1-50. · Zbl 0019.19602 · doi:10.1007/BF01597346
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