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Some results on diophantine approximation. (English) Zbl 0097.03502

Es sei \(\varphi(n,\varepsilon,C)\) die Menge der \(\alpha\) \((0 < \alpha < 1)\), für welche \(|\alpha-p/q| < \varepsilon/q^2\), \(n < q < Cn\), \((p,q) = 1\) nicht lösbar ist, und \(\mu\) ihr Maß. In Richtung auf die Vermutung der Existenz von \(\lim_{n \to \infty} \mu (\varphi)\) zeigt nun der Verf. [vgl. P. Erdős, P. Szüsz und P. Turán, Colloq. Math. 6, 119–126 (1958; Zbl 0087.04305)]: Es gibt zu jedem \(\varepsilon,\eta\) ein \(C = C(\varepsilon,\eta)\), so daß \(\mu(\varphi(n,\varepsilon,C)) < \eta\). Der (lange) Beweis zeigt mehr: Es sei \(f_q(\alpha) = 1\), wenn für ein \(p\) die Ungleichung \[ \left|\alpha- \frac{p}{q}\right| < \frac{\varepsilon}{q^2} \] lösbar ist, \(0\) sonst, \[ E_c = \sum_{n < q < C_n} \int_0^1 f_q (\alpha) \,d\alpha \sim \frac{12 \varepsilon}{\pi^2} \log C. \] Dann ist für jedes \(\eta\) und großes \(C\) \[ \int_0^1 \left(\sum_{n<q<C_n} f_q (\alpha)-E_C \right )^2 \,d \alpha < \eta E_C^2. \] Weiter wird gezeigt [im Detail für \(l(n)=n]\): Ist \(l(n)>0\) nicht abnehmend, \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{l(n)} = \infty\), \(N(l,\alpha,n)\) die Anzahl der Lösungen von \(m\alpha - [m\alpha] < \frac{1}{l(m)},\; 1\leq m \leq n\), dann ist für alle \(\alpha\) \[ \lim_{n \to \infty} N(l,\alpha,n)\left(\sum_{m=1}^n \frac{1}{ l(m)} \right)^{-1}=1. \]

MSC:

11J25 Diophantine inequalities

Keywords:

number theory

Citations:

Zbl 0087.04305
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Full Text: DOI EuDML