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Generalized semigroup rings. II. (English) Zbl 0090.02102

L’A. développe davantage sa théorie des mults [J. Indian Math. Soc., New Ser. 21, 73–95 (1958; Zbl 0081.26203)]. Un mult est un ensemble \(M\) (non vide) muni d’une structure algébrique ordonnée (partiellement), dont la loi de composition \((\cdot)\) (univoque, mais non nécessairement universelle) et la relation d’ordre partiel \(\le\) ou \(\ge\) satisfont aux axiomes que voici:
(1) Pour tous les \(a, b\in M\) tels que \(a\ge b\) l’ensemble de tous les \(x\in M\) tels que \(a\ge x\ge b\), est une chaîne ( = ensemble totalement ordonné par \(\ge)\),
(2) Pour tous les \(a, b, c, d\in M\) tels que \(a\ge b\) et \(c\ge d\), on a \(ac\ge bd\), l’égalité \(ac = bd\) valant si et seulement si \(a = b\) et \(c = d\).
Actuellement, l’A. ajoute un troisième axiome, à savoir:
(3) Pour \(a, b, c\in M\) on a \(a b\in M\) et \((a b) c\in M\) si et seulement si on a \(bc\in M\) et \(a(bc)\in M\) et, si tel est le cas, alors \((a b) c = a (b c)\).
Parmi les exemples de mults, il y a lieu de signaler ici le semigroupe additif des entiers rationnels non-négatifs (ordonnés selon la grandeur), les groupes mixtes, certaines catégories de MacLane et enfin les mults de matrices (= matrix mults); ces derniers sont étudiés en détail dans le §2 du présent travail dont les §§1 et 3 sont consacrés respectivement à l’étude des semigroupes librement engendrés par des (sub) mults et à la recherche des propriétés des idéaux d’un mult \(M\) en connexion avec les idéaux de certains sousanneaux de l’ensemble \(\Gamma\) de toutes les applications (uniques) de \(M\) dans un anneau quelconque \(\mathfrak R\), entendu qu’on définisse, suivant l’A.:
\(m (\alpha + \beta) = m\alpha + m\beta\) et \(m\alpha\beta = \displaystyle \sum_{xy=m}(x\alpha) (y\beta)\) pour chaque \(m \in M\), chaque couple \(\alpha, \beta\in\Gamma\) et tous les \(x, y \in M\) tels que \(x y = m\) (s’il y en a; sans quoi, on définit simplement \(m\alpha\beta = 0\in\mathfrak R)\).
Cette définition du produit \(\alpha\beta\) n’a de sens qu’autant qu’il n’y a qu’un nombre fini de couples \(x, y\in M\) satisfaisant à \(x y = m\) (ce qui relève des propriétés de l’ordre partiel dont le mult \(M\) est muni; cf. la première partie du présent travail).
Le résultat suivant est assez simple pour qu’il puisse être mentionné ici (théorème 2.1 du travail):
Un mult \(M\) est isomorphe (isomorphisme purement algébrique) à un mult de matrices \(N = X \times X\) \((X = \) ensemble nonvide quelconque et \((a, b) (c, d) = (a, d)\) si \(b = c)\) si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites:
(a) Pour tous les \(a, b\in M\) il existe \(x, y\in M\) tels que \(x a y = b\),
(b) Si pour \(a, b, x, y\in M\), on a \(xay\in M\) et \(xby\in M\), alors \(a = b\).
L’auteur indique ensuite quatre méthodes pour ordonner partiellement un mult de matrices.

MSC:

20M25 Semigroup rings, multiplicative semigroups of rings
16S36 Ordinary and skew polynomial rings and semigroup rings

Citations:

Zbl 0081.26203
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Full Text: EuDML