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Zur Entwicklungsgeschichte der Eulerschen Summenformel. (German) Zbl 0087.24201


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[1] Wallis, J.:Arithmetica infinitorum, Oxford ?1655?=Opera mathematica I, Oxford 1695. Das Ausgabejahr des Erstdruckes ist nach der englischen Jahreszählung gerechnet, die den 25. 3. als Jahresanfang nimmt. Nach der festländischen Jahreszählung mit dem Jahreswechsel am 1. 1. ist das Ausgabejahr 1656.Euler dürfte nicht den verhältnismäßig seltenen Erstdruck verwendet haben, sondern den viel häufigeren Nachdruck.
[2] Euler, L.:Opera mathematica (1) XIV/XVI:Commentationes analyticae ad theoriam serierum pertinentes, Leipzig-Berlin-Zürich-Basel 1924/35, im folgenden zitiert alsEO mit Bandnummer und nachfolgender Seitenzahl.
[3] EO XVI*, S. VII/CXII.
[4] De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt: commentarii academiae scientiarum Petropolitanae [=CP]5 (1730/31), 1738=EO XIV, S. 1/24, der Akademie am 28. 11. 1729 a. St. vorgelegt.
[5] Eneström, G.:Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers, Leipzig 1910/13=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Erg.-Bd. IV. · JFM 41.0010.05
[6] Dan.Bernoulli berichtet übrigens im Brief vom 7. 3. 1742 anEuler, er habe sich schon vor seiner Wirksamkeit in Petersburg (1725/33) ebenfalls mit der Herstellung summierbarer Reihen (in geschlossener Form) unter Verwendung von Differentiationen und Integrationen beschäftigt. Im nächsten Brief anEuler vom 14. 4. 1742 gesteht er allerdings, nachdem er die unten zu erwähnende Abhandlung15) E 41 ausCP 7 (1734/35), 1740 gesehen hatte: ?Ich sehe nun freylich, daß Sie die differentiationes und integrationes serierum anders nehmen, und zwar auf eine viel nützlichere und ingeniosere Weise als ich.?... Die erwähnten Briefstellen finden sich inP.-H. Fuss:Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII ème siècle II, Petersburg 1843, S. 487/88 und 493.
[7] Goldbach, Chr.:De terminis generalibus serierum, CP 3 (1728), 1732, S. 164/73.
[8] Die gleichwertige Definition In 140-1 findet sich inE. Halley:A most compendious and facile Method for constructing the Logarithmes..., Philosophical Transactions [=PT] 19, Nr. 216 für III/V 1695, S. 88/97. Dort wird erstmals der (allerdings nur formal geglückte) Versuch unternommen, die logarithmische Reihe als Grenzfall der binomischen Reihe anzusehen und hieraus den Logarithmus auf algorithmischem Wege zu erklären. Es ist kaum wahrscheinlich, daßEuler direkt an diesen Aufsatz anschließen konnte; die unmittelbare Vorlage ist nicht feststellbar.
[9] De summatione innumerabilium progressionum, CP 5 (1730/31), 1738=EO XIV, S. 25/41, der Akademie am 5. 3. 1731 a. St. vorgelegt.
[10] SchonLeibniz hatte im Brief vom 9. [19.] 11. 1696 (d.i. 9. 11. a. St=19. 11. n. St.) an Joh.Bernoulli festgestellt, daß \(\sum\limits_{v = 1}^\infty {\tfrac{1}{{v^2 }} = \mathop \smallint \limits_0^1 } \frac{{In(1 - t) \cdot dt}}{{ - t}}und\sum\limits_{v = 1}^\infty {\tfrac{{( - 1)^{v + 1} }}{{v^2 }} = \mathop \smallint \limits_0^1 } \frac{{In(1 + t) \cdot dt}}{t}\) ist. Vgl.LeibnizensMathematische Schriften, ed.C. I. Gerhardt, Bd. III, Halle 1855, S. 337. Fast gleichzeitig und unabhängig vonLeibniz kam Jak.Bernoulli zur nämlichen Integraldarstellung für die beiden Summen:prop. 44 der dritten Reihendissertation vom 14. [24.] 11. 1696, Wiederdruck im Anhang zur nachgelassenenArs conjectandi, die 1713 zu Basel unter Mitwirkung von Nikl.I. Bernoulli gedruckt wurde.
[11] Schon 1723 beginnt die Diskussion zwischen den beiden Freunden um den (geschlossenen) Summenwert vons 2. Dan.Bernoulli verweist im Brief vom 2. 10. 1723 [Fuss 6]P.-H. Fuss:Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII ème siècle II, Petersburg 1843, II, S. 180/81] auf Jak.Bernoullis erste Reinhendissertation vom 7. [17.] 6. 1689, woselbst der Autor in einer Ergänzung zuprop. 17 bemerke, er habe trotz erheblicher Anstrengungens 2 nicht bestimmen können. In seiner Antwort vom 4. 11. 1723 berichtetGoldbach über seine ersten Reinhenstudien und erwähnt, er besitze dieArs conjectandi 10), habe aber früher bei der Durcharbeit große Schwierigkeiten gehabt. Er halte die Summierung vons 2 für nicht einfacher wie die Kreisquadratur (Fuss, S. 185). Das ungelöste Problem erscheint wieder im Jahre 1728. Jetzt steht die numerische Approximation im Vordergrun. Am 29.8 [9. 9.] 1728 schreibt Dan.Bernoulli, er habe eine kurze Methode zur Berechnung vons 2 gefunden, aus der \(s_2 \approx \tfrac{8}{5}\) folge (Fuss, S. 263/64). Später muß er angedeutet haben, daß \(s_2 - 1 = \sum\limits_{v = 1}^\infty {\frac{1}{{v^2 (v + 1)}}}\) ist (enkennbar ausGoldbachs Schreiben vom 2. 10. 1730:Fuss, S. 395). Den Beweis führt er im Brief vom 8. [19.] 10. 1730 (Fuss, S. 398) auf Grund der Umformung \(\sum\limits_{v = 1}^\infty {\left\{ {\frac{1}{{(v + 1)^2 }} - \frac{1}{{v^2 (v + 1)}}} \right\}} = \sum\limits_{v = 1}^\infty {\left\{ {\frac{1}{{(v + 1)^2 }} - \frac{{v - 1}}{{v^2 }}} \right\} = 0}\) . Die einfachere Umformung \(\sum\limits_{v = 1}^\infty {\left\{ {\frac{1}{{v^2 }} - \frac{1}{{v^2 (v + 1)}}} \right\}} = \sum\limits_{v = 1}^\infty {\left\{ {\frac{1}{v} - \frac{1}{{v + 1}}} \right\} = 1}\) scheint ihm entgangen zu sein. Die Näherung 8/5 folgt durch Berücksichtigung der ersten drei Glieder der neuen Reihe: \(s_2 > 1 + \frac{1}{{1^2 \cdot 2}} + \frac{1}{{2^2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3^2 \cdot 4}} = \frac{{29}}{{18}} > \frac{8}{5}\) . Dazwischen schieben sich die VerfahrenGoldbachs. Dieser verwendet im Schreiben vom 31. 1. 1729 (Fuss, S. 281/82) die Ungleichungen \(\frac{{256}}{{(16v - 7)(16v + 9)}}< \frac{1}{{v^2 }}< \frac{4}{{(2v - 1)(2v + 1)}}\) fürv > 1 und findet durch Summieren \(\frac{{16}}{{16n - 7}}< \sum\limits_{v = n}^\infty {< \frac{2}{{2n - 1}}}\) . Er berechnet zuerst die ersten 6, dann die ersten 11 Glieder vons 2 und schätzt die Reste vermittels der soeben angegebenen Schranken ab. Die sich ergebenden Näherungswerte unterscheiden sich im zweiten Fall nur mehr um drei Einheiten der 4. Dezimale. Dazu trittGoldbachs Bemerkung,s 2-1 lasse sich auch in der Form \(\frac{1}{{2^2 - 1}} + \frac{1}{{3^2 - 1}} + 0 + \frac{1}{{5^2 - 1}} + \frac{1}{{6^2 - 1}} + \frac{1}{{7^2 - 1}} + 0 + 0 + \frac{1}{{10^2 - 1}} + ...\) darstellen (Fuss, S. 283). Dan.Bernoulli hält diese Entwicklung nicht für richtig. Nach längerer Diskussion deutetGoldbach in einem Brief vom April 1729 das einzuschlagende Beweisverfahren an (Fuss, S. 296). Einen Beweis unter Bezugnahme aufGoldbachs Reihe veröffentlichteEuler in E 72:Variae observationes circa series infinitas, CP 9 (1737), 1744=EO XIV, S. 216/44, insbesondere S. 226/27.
[12] Die Berechnung natürlicher Logarithmen in der Form In \(\frac{{a + \chi }}{{a - \chi }}\) erscheint erstmals im Druck inJ. Gregory:Exercitationes geometricae, London 1668, S. 9/13 und ist von hier inHalleys Aufsatz8) übergegangen. übergegangen.
[13] Es handelt sich um die Note in denPT 3, Nr. 38 vom 17. [27.] 8. 1668, S. 753/56, die auch inWallis’ Opera 1)Wallis, J.:Arithmetica infinitorum, Oxford ?1655?=Opera mathematica I, Oxford 1695. übergegangen ist.
[14] Entsprechung der logarithmischen Reihe mit jener für den Arcus Tangens.
[15] Die erste Darstellung findet sich in der Abhandlung E 41:De summis serierum reciprocarum, CP 7 (1734/35), 1740=EO XIV, S. 73/86, der Petersburger Akademie am 5. 12. 1735 a. St. vorgelegt, jedoch nicht abgeliefert.
[16] Methodus generalis summandi progressiones, CP 6 (1732/33), 1738=EO XIV, S. 42/72, der Akademie am 30.6. 1732 a. St. vorgelegt.
[17] De progressionibus harmonicis observationes, CP 7 (1734/35), 1740=EO XIV, S. 87/100, der Akademie am 11. 3. 1734 a. St. vorgelegt.
[18] Euler hatte keine Ahnung davon, daß schon inP. Mengoli:Geometria speciosa, Bologna 1659, die auf der Treppenmethode beruhenden Ungleichungen \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{np}}< Inp< \frac{1}{n} + \frac{1}{{n + 1}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{np - 1}}\) erscheinen, aus denen dieEulersche Formel sogleich durch Grenzübergang hervorgeht. Wahrscheinlich hatte er aber erfahren (brieflicher Hinweis von HerrnO. Spiess), daß Joh. II.Bernoulli, der damals 19jährige Sohn Joh. I. und jüngere Brüder Dan.Bernoullis, die Teilreihen der harmonischen Reihe durch einen geschlossenen Ausdruck angenähert hatte. Über diese Angelegenheit, von der Dan.Bernoulli im Frühjahr 1729 unterrichtet worden sein muß, wurde nämlich auchGoldbach informiert. Der fragliche Brief Dan.Bernoullis trägt nachFuss 6),P.-H. Fuss:Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII ème siècle II, Petersburg 1843, S. 250 das Datum 20. 2. 1728 a. St. Hier muß jedoch ein Lesefehler bezüglich der Jahreszahl vorliegen. Das richtige Datum ist wohl der 3. 3. 1729 n. St. Der Brief bezieht sich nämlich auf Fragen, die erst im Jabr 1729 zwischen Dan.Bernoulli undGoldbach verhandelt wurden. Dan.Bernoulli hat die erhaltenen Andeutungen aus Basel sofort verstanden, wie das aus dem Hinweis beiFuss, S. 252/53 hervorgeht. Ein späterer Bericht Dan.Bernoullis anGoldbach vom 28. 4. [9. 5.] 1729 (Fuss, S. 300/01) bestätigt dies. AuchGoldbach merkt, daß es sich um die Verwendung von Logarithmen handeln müsse: Brief an Dan.Bernoulli vom April 1729 (Fuss,P.-H. Fuss:Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII ème siècle II, Petersburg 1843, S. 296/97).
[19] Methodus universalis serierum convergentium summas quam proxime inveniendi, CP 8 (1736), 1741=EO XIV, S. 101/07, der Akademie am 9. 6. 1735 a. St. vorgelegt.
[20] Stillschweigend wird vorausgesetzt, daß die Reihenglieder monoton abnehmen, und zwar so, daß aucht(v+1)?t(v)>t(v)?t(v-1) ist.
[21] Die im Brief an Joh.Bernoulli vom 20. 6. [1. 7.] 1740 gemachten MitteilungenEulers über seine neuen Ergebnisse?abgedruckt inG. Eneström:Der Briefwechsel zwischen L. Euler und Joh. I. Bernoulli, Abt. III,Bibl. math. (3)6, 1904, S. 62/67?führen zu Joh.Bernoullis Antwort vom 31. 8. 1740. Hier tut Joh.Bernoulli so, als habe er die ErgebnisseEulers aus eigener Kraft nacherfunden [Fuss 6),P.-H. Fuss:Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII ème siècle II, Petersburg 1843, S. 45/47]. In Wirklichkeit hat er sich jedoch nur das Verfahren seines Sohnes Joh. II. angeeignet. Siehe oben18).
[22] Inventio summae cujusque seriei ex dato termino generali, CP 8 (1736), 1741=EO XIV, S. 108/23, der Akademie am 13. 10. 1735 a. St. vorgelegt.
[23] Dort sind nämlich auf S. 96/98 nicht nur die Summen fürk=1, 2, ..., 10 angegeben, sondern auch das allgemeine Bildungsgesetz erscheint: \(\sum\limits_{v - 1}^n {\frac{1}{{v^k }} = \frac{{n^{k + 1} }}{{k + 1}} + \frac{{n^k }}{{1 \cdot 2}} + A \cdot \frac{{kn^{k - 1} }}{2} + B \cdot \frac{{k(k - 1)(k - 2)}}{{2 \cdot 3 \cdot 4}}n^{k - 3} + } \cdot \cdot \cdot\) Daraus hätteEuler seine Summenformel unmittelbar ablesen können. Sicherlich hätteEuler schon damals auf Jak.Bernoulli hingewiesen, wenn er die fragliche Stelle gekannt hätte. Später hat er das Versäumte ausdrücklich nachgeholt: Abhandlung E 393:De summis serierum numeros Bernoullianos involventium, Novi CP 14 (1769) I, 1770=EO XV, S. 91/130. Die Abhandlung wurde der Petersburger Akademie am 18. 8. 1768 a. St. vorgelegt.
[24] EO XVI*, S. XXII.
[25] Methodus universalis series summandi ulterius promota, CP 8 (1736), 1741=EO XIV, S. 124/37, der Akademie am 17. 9. 1736 vorgelegt.
[26] J. Stirling:Methodus differentialis sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum, London 1730.
[27] Novemberheft des Jahrganges 1734, S. 515/26.
[28] Stirling 28),prop. 2, Beispiel 6 (S. 28/29); 9 richtige Dezimalen vons 2, fernerprop. 11, Beispiel 1 (S. 54/55; 17 richtige Dezimalen) undprop. 12, Beispiel 2 (S. 64/66; wiederum 17 richtige Dezimalen).
[29] Das Original dieses Briefes ist verschollen, wir haben jedoch eine für die Akademie angefertigte Abschrift (Archiv der Moskauer Akademie), weilEuler in deren Auftrag anStirling schrieb und auch den Brief schon vor der Abfertigung am 4. [15.] 6. 1736 zur Genehmigung vorlegte.
[30] Das Original ist abgedruckt in Ch.Tweedie:J. Stirling, a sketch of his life and works along with his scientific correspondence, Oxford 1922, S. 181/91. Die fragliche Stelle befindet sich auf S. 183. Dort ist auch noch das Glied mit der 19. Ableitung richtig wiedergegeben. Im Druck ist der Fehler erstmals berichtigt in denInstitutiones calculi differentialis cum ejus usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, Berlin 1755 (E 212 von 1748)=EO X, ed.G. Kowalewski, Leipzig-Berlin 1913, S. 320.
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