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Borel transforms of Tauberian series. (English) Zbl 0077.06502

Es bezeichne \(B(t)=e^{-t} \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} S_k\) die Borel-Transformation der Teilsummen \(S_n=u_0+u_1+\ldots+u_n\) einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern, welche der Tauber-Bedingung (1) \(\displaystyle\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt n | u_n| = L < \infty\) genügen; ferner seien \(n=n(\alpha)\) und \(t=t(\alpha)\) positive Funktionen eines positiven Parameters \(\alpha\) mit \(\lim_{\alpha\to\infty} n(\alpha) = \infty\), \(\lim_{\alpha\to\infty} t(\alpha) = \infty\) und \(n(\alpha)\) sei für jedes \(\alpha > 0\) ganzzahlig. Dann gibt es eine von \(n(\alpha)\) und \(t(\alpha)\) abhängige kleinste Konstante \(A\) derart, daß \(\displaystyle\overline{\lim_{\alpha\to\infty}} | B(t)-S_n| \leq AL\) ausfällt. Ist \(M = \displaystyle\overline{\lim_{\alpha\to\infty}} | n-t| /\sqrt t <\infty\), so ist auch \(A<\infty\), und zwar ist
\[ A=\sqrt{\frac 2{\pi}} \left [e^{-M^2/2} +- M\,\int_0^M e^{-x^2/2}\, dx\right], \]
ist aber \(M = +\infty\), so auch \(A = +\infty\). Verf. untersucht die Abhängigkeit der besten Konstanten \(A\) von den gegebenen Funktionen \(n(\alpha)\) und \(t(\alpha)\). Insbesondere findet Verf. dann und nur dann, wenn \(M = 0\) ist, den Wert \(A_0 = \sqrt{2/\pi}\). An Stelle der Tauberschen Bedingung (1) wird auch eine allgemeinere Konvergenzbedingung von R. Schmidt [Schriften der Königsberger Gelehrten Ges., Naturwiss. Kl. 1, 205–256 (1925; JFM 51.0184.01)] herangezogen. Endlich wird auf den Zusammenhang mit früheren Untersuchungen ähnlicher Art von J. Karamata [Rad 261, 1–22 (1939; Zbl 0027.30303)] und C. T. Rajagopal [Math. Z. 57, 405–414 (1953; Zbl 0050.28503)] genauer eingegangen.
Reviewer: V. Garten

MSC:

40G10 Abel, Borel and power series methods
40D10 Tauberian constants and oscillation limits in summability theory
40E10 Growth estimates
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Agnew, R. P. [1949]: Abel transforms and partial sums of Tauberian series. Ann. of Math. (2)50, 110-117. · Zbl 0032.15203 · doi:10.2307/1969355
[2] Karamata, Jovan [1938]: O jednom op?tem O-inversnom stavu. Rad Jugoslavenske Akademije Znanosti i Umjetnosti, Knjiga 261, Matematicko-Prirodoslovni Razred 81, pp. 1-22.
[3] Rajagopal, C. T., [1953]: A generalization ofTauber’s Theorem and some Tauberian constants. Math. Z.57, 405-414. · Zbl 0050.28503 · doi:10.1007/BF01192935
[4] Schmidt, Robert [1925]: Die Umkehrsätze des Borelschen Summierungsverfahrens. Schriften der Königsberger Gelehrten Gesellschaft, Naturwiss. Kl.1 205-256. · JFM 51.0184.01
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