×

Mathematical analysis. A modern approach to advanced calculus. (English) Zbl 0077.05501

Addison-Wesley Mathematics Series. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. xii, 448 p. (1957).
In Abweichung von der Mehrheit der U. S.-Lehrbücher über „advanced calculus“ gibt dieses Buch eine moderne Einführung in dieses Gebiet: präzise Formulierung der Voraussetzungen in den Theoremen, exakte, möglichst einfache Beweise, und eine ausgezeichnete Schulung im abstrakten mathematischen Denken (das Werk enthält fast 500 Übungsaufgaben, die teilweise die im Haupttext enthaltenen Theorien noch erweitern). Die behandelten Gegenstände sind:
in den Kap. 1–4 „axiomatische“ Einführung der reellen und komplexen Zahlen; Exponentialfunktion, Logarithmus und trigonometrische Funktionen im komplexen Gebiet (keine analytische Einführung dieser Funktionen im reellen Gebiet); Mengen, Punktmengen im \(R_n\); Grenzwert und Stetigkeit;
in den Kap. 5–7 die Differentialrechnung von Funktionen einer oder mehrerer reellen Variablen;
in Kap. 8 Rektifizierbarkeit und Zusammenhang;
in Kap. 9, 10 Riemann-Stieltjes-Integration bei Funktionen einer oder mehrerer Variablen unter konsequenter Anwendung des Unterteilungsverfahrens, Linienintegrale und Windungszahl im \(R_2\), Beweis des Greenschen Satzes für Gebiete im \(R_2\) begrenzt durch rektifizierbare Jordan-Kurven (und bei Riemann-integrierbaren partiellen Ableitungen);
schließlich in Kap. 11–16 Vektoranalysis, Reihen, Produkte, Funktionenfolgen, uneigentliche Riemann-Stieltjes-Integrale, Fouriersche Reihen und Integrale mit Fourier- und Laplace-Transformationen, Cauchyscher Satz mit Residuenrechnung.
[Zu Kap. 16, Nr. 2 ist zu bemerken, daß sich nach A. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre II, 1. Abt. Leipzig: B. G. Teubner (1925; JFM 51.0237.01), aus stetiger Differenzierbarkeit einer komplexwertigen Funktion „ohne“ Konturintegration ihre unbeschränkte Differenzierbarkeit ableiten läßt, während dies aus Differenzierbarkeit allein bisher nicht gelang.

MSC:

26-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to real functions

Citations:

JFM 51.0237.01