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Some results on additive number theory. (English) Zbl 0056.27001

Nach G.G.Lorentz (Zbl 0056.03902) gibt es zu jeder beliebigen unendlichen Menge \({\mathfrak A}\) nichtnegativer ganzer Zahlen ebensolche Menge \({\mathfrak B}\) mit den Eigenschaften
1. \({\mathfrak A}+{\mathfrak B}\) enthält alle hinreichend großen natürlichen Zahlen,
2. die asymptotische Dichte von \({\mathfrak B}\) istNull, genauer \[ B(n) < \sum_{k=1}^n {\log A(k) \over A(k)}\quad (A(k) > 0; c = \text{const} > 0)\tag{*} \] [\(A(n)\) bzw. \(B(n)\) bedeuten die Anzahlen der positiven Elemente von \({\mathfrak A}\) bzw. \({\mathfrak B}\), die kleiner oder gleich \(n\) sind.]
Wählt man speziell für \({\mathfrak A}\) die Primzahlmenge, so folgt aus \((^*) B(n)=O(\log^3 n)\).
Der Verf. beweist, daß in diesem Spezialfall sogar Mengen \({\mathfrak B}\) mit \(B(n) = O(\log^2 n)\) existieren.
Besitzt \({\mathfrak A}\) positive asymptotische Dichte, so folgt aus \((^*)\) leicht \(B(n) = O(\log^2 n)\). Der Verf. zeigt, daß dies Ergebnis allgemein nicht verbessert werden kann, indem er die Existenz von Mengen \({\mathfrak A}\) mit positiver asymptotischer Dichte nachweist, so daß aus \(({\mathfrak A} + {\mathfrak B}) \cap [N,\infty) = [N,\infty)\) für genügend großes \(N\) stets \(B> \text{const} \cdot \log^2n\) folgt.
Abschließend greift der Verf. noch die von B.Volkmann (Zbl 0048.03401) aufgeworfene Frage auf: ”Gibt es pseudorationale Mengen \({\mathfrak A}, {\mathfrak B}\) derart, daß \({\mathfrak A} + {\mathfrak B}\) nicht pseudorational ist”. Der Verf. zeigt, daß es solche Mengen gibt, und behandelt außerdem noch einige Modifikationen dieser Fragestellung [dieses Ergebnis ist jedoch nicht neu; ein auf M. Kneser zurückgehendes Beispiel gibt B.Volkmann (Zbl 0056.05103) an].
Reviewer: H.Ostmann

MSC:

11B30 Arithmetic combinatorics; higher degree uniformity

Keywords:

Number theory
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