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Eine Begründung der hyperbolischen Geometrie. (German) Zbl 0055.13803


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References:

[1] J. Hjelmslev: Neue Begründung der ebenen Geometrie. Math. Ann.64, 449-474 (1907). · JFM 38.0504.01 · doi:10.1007/BF01450057
[2] Arnold Schmidt: Die Dualität von Inzidenz und Senkrechtstehen in der absoluten Geometrie. Math. Ann.118, 609-625 (1943). · Zbl 0027.41801
[3] D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl. Leipzig und Berlin 1930. Hier verstehtHilbert unter ?absoluter Geometrie? nur einen der euklidischen und hyperbolischen Geometrie gemeinsamen Bereich.
[4] F. Bachmann: Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. Math. Ann.123, 341-344 (1951). Ein auf Grund des hier angegebenen Axiomensystems vollständig durchgeführter Aufbau der absoluten Geometrie findet sich in der Vorlesungsausarbeitung ?Grundlagen der Geometrie? vonF. Bachmann, Kiel 1951. · Zbl 0043.35106 · doi:10.1007/BF02054959
[5] F. Bachmann: Geometrien mit euklidischer Metrik, in denen es zu jeder Geraden durch einen nicht auf ihr liegenden Punkt mehrere Nichtschneidende gibt, Teil I und II in Math. Z.51, 752-779 (1949) und Teil III in Math. Nachr.1, 258-276 (1948). Vgl. auch die in 4) zitierte Vorlesungsausarbeitung. · Zbl 0041.47108
[6] Zur Bezeichnung sieheB. L. van der Waerden, Gruppen von linearen Transformationen. Berlin 1935.
[7] F. Bachmann: Eine Kennzeichnung der Gruppe der gebrochen-linearen Transformationen. Math. Ann.126, 79-92 (1953). · Zbl 0050.36901 · doi:10.1007/BF01343152
[8] Die Ergebnisse der vorliegenden Note wurden, bis auf Ergänzungen in § 4 und § 5, im Rahmen eines Forschungsauftrages der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Sommer 1952 gewonnen und waren am 17. 11. 52 Gegenstand eines Vortrages an der Universität Tübingen. In seiner Kieler Dissertation vom Sommer 1953 hatP. Bergau im Anschluß an diese Ergebnisse unter anderem gezeigt, daß man in unserem Axiomensystem A für die hyperbolische Geometrie das Axiom 7 oder das Axiom 8 entbehren kann, da jedes aus den übrigen folgt.P. Bergau schlägt an Stelle von diesen beiden Axiomen das Axiom ?Durch einen Punkt gibt es zu einer Geraden höchstens zwei Randparallelen? vor.
[9] Ein Gruppenelement heißt involutorisch, wenn es die Ordnung 2 hat.
[10] Der Gleichheitsbegriff ist der inG erklärte.
[11] Satz und Beweisanordnung finden sich schon in einer Vorlesung vonF. Bachmann.
[12] SieheB. L. van der Waerden 7), S. 27.
[13] Der Beweis zeigt, daß nur die Axiome A 1 bis A 5 und 1.1 verwendet werden; es handelt sich also um eine Eigenschaft der absoluten Geometrie.
[14] SieheB. L. van der Waerden 7), S. 7.
[15] Den Begriff der Halbordnung hatE. Sperner in mehreren Arbeiten entwickelt und untersucht, vgl. vor allemE. Sperner: Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. Math. Ann. 121, 107 (1949). Siehe auchF. Bachmann-W. Klingenberg: Über Seiteneinteilungen in affinen und euklidischen Ebenen. Math. Ann.123, 288-301 (1951). Hier sind auch die weiteren Arbeiten vonSperner zitiert. · Zbl 0032.17801 · doi:10.1007/BF01329620
[16] Zum Begriff der Anordnung vgl.B. L. van der Waerden: Moderne Algebra I, 2. Auflage. Berlin 1937 oderG. Pickert: Einführung in die höhere Algebra. Göttingen 1951.
[17] Eine Durchführung findet sich in der Dissertation vonP. Bergau 9).
[18] In revidierter Form eingetroffen am 17. Oktober 1953.
[19] BeiG. Pickert 18) hat der Begriff ?Positivbereich? eine engere Bedeutung. Man vgl. hierzuN. Bourbaki, Eléments de Mathématique, Algèbre, corps ordonnés.
[20] Man vergleiche die in18) genannte Literatur.
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