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Linear forms and statistical criteria. I, II. (Lineare Formen und statistische Kriterien. I, II.) (Russian) Zbl 0052.36701

Ukr. Mat. Zh. 5, 207-243 (1953); ibid. 5, 247-290 (1953).
Gegeben \(r\) unabhängige stochastische Variabeln \(x_i\) mit gleicher Verteilung und zwei Linearformen \(L_1 = \sum a_ix_i\), \(L_2 = \sum b_ix_i\) mit reellen konstanten Koeffizienten. Wann hat man Äquivalenz zwischen den Aussagen:
(A) Die \(x_i\) sind normal. (B) \(L_1\) und \(L_2\) besitzen dieselbe Verteilung.
Unter der allgemeinen Voraussetzung (C) \(\sup(\vert a_i\vert) \ne \sup(\vert b_i\vert)\) und mit der Bezeichnung \(\sigma(z) = \sum \vert a_i\vert^z - \sum \vert b_i\vert^z\) hat man die notwendige und hinreichende Bedingung:
(1)\(\sum a_i = \sum b_i\),(2) \(\sigma(2) = 0\),(3) alle positiven Wurzeln von \(\sigma(z)\), die \(\equiv 0 \bmod 4\) sind, sind einfach, (4) alle positive Wurzeln, die \(\equiv 2\bmod 4\) sind, haben höchstens die Vielfachheit 1, und wenn es eine der Vielfachheit 2 gibt, so gibt es nur eine und übertrifft sie alle positiven Wurzeln, (5) eine etwaige positive Wurzel \(\gamma\), die \(\not\equiv 0 \bmod 2\) ist, ist einzig, sie übertrifft alle positive Wurzeln und \([\gamma/2]\) ist ungerade.
Der Satz wird zur Konstruktion von Normalitätskriterien verwandt und auch in Beziehung gebracht zur Maxwellschen Verteilung – man nehme eine räumliche Verteilung, deren Projektionen auf drei senkrechte Achsen unabhängig und gleichverteilt seien, und deren Projektionen auf zwei Geraden durch den Ursprung gleichverteilt seien!
Dem Beweise dieses Satzes geht ein anderer voran: Gelte (C) und seien \(L_1\) und \(L_2\) gleichverteilt. Sei \(\gamma\) die größte reelle Wurzel von \(\sigma\). Dann ist \(\gamma > 0\). Existiert das \(2[\gamma/2 + 1]\)-te Moment von \(x_i\), so sind die \(x_i\) normal. Läßt man (C) fallen und fordert man die Existenz des \(2[\sigma/2 + 1]\)-ten Moments, wo \(\sigma\) obere Grenze der Realteile aller Wurzeln ist, so ergibt sich wieder Normalität. J. Marcinkiewicz [Math. Z. 44, 612–618 (1938; Zbl 0019.31705)], der den Fall \(\sigma(z)\not\equiv 0\) bereits erledigte, stellte die Frage, ob man die höheren Momente entbehren könne. Verf. liefert Gegenbeispiele.
Allgemeinere Verteilungen behandelt der folgende Satz: Gegeben verschiedene \(\gamma_i\) \((0 < \gamma_i \le 2\), \(i = 1, \ldots, l)\). Man kann auf unendlich viele Weisen vier Linearfunktionen mit positiven Koeffizienten konstruieren, so daß die Gleichverteiltheit von \(L_1\) und \(L_2\) und von \(L_3\) und \(L_4\) für ein symmetrisches \(x\) die Gestalt \(\exp(-\sum A_{\gamma_i}\vert u\vert^{\gamma_i})\) für die charakteristische Funktion \(f(u)\) von \(x\) nach sich zieht \((A_{\gamma_1}\ge 0,\ A_{\gamma_l} \ge 0)\).
Zum Beweise der Sätze geht man zur charakteristischen Funktion \(f\) über und von dieser zu der Funktion \(\varphi(t) = \log f(e^t)\). Die Aussage der Gleichverteiltheit von \(L_1\) und \(L_2\) verwandelt sich dann in die Differenzengleichung \(\sum \varphi(t + \alpha_\nu) = \sum \varphi(t + \beta_\nu)\) \((\alpha_i = \log a_i,\ \beta_i = \log b_i)\), die durch Laplace-Transformation gelöst wird. So erklärt sich das Auftreten der Wurzel-Bedingungen.

MSC:

62-XX Statistics

Citations:

Zbl 0019.31705
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