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Cubic homogeneous polynomials over \(\mathfrak p\)-adic number fields. (English) Zbl 0048.02602

Der Körper \(K\) sei vollständig in bezug auf eine diskrete nichtarchimedische Bewertung mit endlichem Restklassenkörper. Dann hat jede Gleichung \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0\), wo \(f\) ein homogenes Polynom dritten Grades mit Koeffizienten aus \(K\) ist, eine nichttriviale Lösung in \(K\), wenn \(n > 9\) ist. Wenn \(f\) ein Polynom \(r\)-ten Grades ist, so wird seit längerer Zeit vermutet, daß \(n > r^2\) zur Lösbarkeit ausreicht. Der Fall \(r = 2\) wurde von Hasse erledigt. Im vorliegenden Falle \(r = 3\) wurde die Lösbar-keit schon von V. B. Dem’yanov [Dokl. Akad. Nauk SSSR, N. Ser. 74, 889–891 (1950; Zbl 0037.31003)] bewiesen, allerdings unter der Einschränkung, daß die Charakteristik des Restklassenkörpers der Bewertung \(\ne 3\) ist. Der Beweis des Verf. – der von dem Beweis von Demyanov unabhängig gefunden wurde und von diesem abweicht – setzt diese Einschränkung nicht voraus.

MSC:

11S05 Polynomials
12J25 Non-Archimedean valued fields
11E76 Forms of degree higher than two

Citations:

Zbl 0037.31003
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