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Some linear and some quadratic recursion formulas. I. (English) Zbl 0044.06003

Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser. A 54, 374-382 (1951); Indag. Math. 13, 374-382 (1951).
Die Verff. untersuchen die Lösungen \(f\) von \[ f(1)=1;\quad f(n) = \sum_{k=1}^{n-1} c_k f(n-k) \quad (n=2,3,...), \] wo die \(c_k>0\) vorausgesetzt werden, so daß auch \(f(n) > 0\) \((n=1,2,...)\). Es werde \(C(x) = \sum_{n=1}^\infty c_nx^n\) und \(F(x) = \sum_{n=1}^\infty f(n) x^n\) gesetzt. Es ist dann \(F(x) = x+C(x)F(x)\). Es sei \(\gamma\) die obere Grenze aller Zahlen \(\alpha \geq =\) mit \(C(\alpha)\leq 1\) und \(R\) der Konvergenzradius der Potenzreihe für \(C(x)\). Fünf Fälle werden unterschieden:
1. \(\gamma = R = 0\); 2. \(0 < \gamma < R \leq \infty\), \(C(\gamma) = 1\); 3. \(0 < \gamma = R<\infty\), \(C(\gamma) = 1\), \(0 < C'(\gamma) < \infty\); 4. \(0 < \gamma = R<\infty\), \(C(\gamma) = 1\); \(C'(\gamma) = \infty\); 5. \(0 < \gamma = R < \infty\), \(0 < C(\gamma) < 1\).
Die Verff. zeigen zunächst, daß \(\lim \{f(n) \}^{-1/n}\) immer existiert (sogar in einem allgemeineren Fall, wo die \(c_k\) noch von \(n\) abhängen) und \(= \gamma\) ist. Komplizierter istdie Frage nach der Existenz von \(\lim f(n)/f(n+1)\), der dann ebenfalls \(=\gamma\) ist, was in den Fällen 2. und 3. immer zutrifft, nicht immer aber in den übrigen Fällen. Es sei \(\alpha = \liminf f(n)/f(n+1)\) und \(\beta = \limsup f(n)/f(n+1)\). Die Verff. geben ein Beispiel, wo \(\beta > \alpha = 0\) ist. Eine hinreichende Bedingung für \(\alpha>0\) ist \(\sum c_k/f(k)<\infty\). Im 5. Fall ist aber \(\sum c_k/f(k) = \infty\). Die Verff. zeigen noch, daß in den Fällen 2, 3, und 4 immer \(c_n = o\{f(n)\}\) ist, falls entweder \(\lim f(n)/f(n+1)\) oder \(\lim c_{n+1}/c_n\) existiert. Für die Fälle 2, 3, 4 und 5 geben sie zwei zugleich notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von \(\lim f(n)/f(n+1)\). In diesen 4 Fällen sind folgende Bedingungen (jede für sich) hinreichend:
a) \(\lim c_n/c_{n+1}=\gamma\);
b) \(\sum_{n=1}^\infty |\gamma c_n-c_{n-1}|\{f(n)\}^{-1} < \infty\);
c) \(\sum c_n /f(n) < \infty;\)
d) \(c_{n+1}c_{n-1} \geq c {2\over n}\) \((n>1)\),
a) und d) auch im Fall 1.

MSC:

40A05 Convergence and divergence of series and sequences
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