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Zbl 0036.01501
Erdös, Pál; Turán, Pál
On the distribution of roots of polynomials. (English)
[J] Ann. Math. (2) 51, 105-119 (1950). ISSN 0003-486X; ISSN 1939-0980/e

Soit $f(z)=a_0+a_1z+ \cdots + a_nz^n$ un polynôme de degré $n$ à coefficients complexes, et posons $P={|a_o|+ \cdots +|a_n| \over \sqrt {|a_0 a_n|}}$. Soient $z_\nu =r_\nu e^{i\varphi_\nu} (1 \le \nu \le n)$ les racines de ce polynôme; les AA., par un ingénieux raisonnement, montrent que lorsque $n$ croît indéfiniment, si $P$ n'est pas "trop grand", les arguments $\varphi _\nu$ sont également répartis entre $0$ et $2\pi$. De façon précise, ils établissent l'inégalité $$\left|\left({\sum\!\!\nu}_{\alpha \le \varphi_\nu \le \beta} 1\right)-\frac{\beta-\alpha}{2\pi} n \right| < 16\sqrt {n\log P}.$$ Ce théorème comprend comme cas particuliers: $1^0$ le théorème de {\it E. Schmidt} [Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1932, No. 25, 394--401 (1932; Zbl 0005.36302)] montrant que le nombre des racines réelles de $f$ est $O(\sqrt {n \log P})$; $2^0$ la généralisation, due à Szegö, du théorème de Jentzsch sur les zéros des polynômes sections d'une série entière ayant le cercle $|z| =1$ comme cercle de convergence, d' après laquelle, pour une infinité de degrés $n_k$ les racines du polynôme section de degré $n_k$ sont également réparties en argument dans un anneau $1-\varepsilon \le |z| \le 1+ \varepsilon$ d'épaisseur arbitrairement petite.

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[J.Dieudonné (Nancy)]

MSC 2000:: *12D05 Factorization of real or complex polynomials
30C10 Polynomials (one complex variable)

Keywords: Linear algebra, polynomials

Citations: Zbl 0005.36302

Cited in: Zbl 1156.30006 Zbl 0920.12001 Zbl 0906.41004

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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