Erdős, Pál On a Tauberian theorem connected with the new proof of the prime number theorem. (English) Zbl 0034.31501 J. Indian Math. Soc., n. Ser. 13, 131-144 (1949). Es wird folgender Satz bewiesen: Ist \(a_1,a_2...\) eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen, \(s_n=a_1+ \cdots + a_n\) und gilt \[ \sum_{k=1}^n a_k(k+s_{n-k})=n^2 + O(n), \] so ist \[ s_n=n+O(1).\tag{1} \]Zunächst leitet der Verf. die schwächere Aussage \( s_n=n+O(\log n)\) her, auf dem Wege über die noch ungünstigeren Fehlerglieder \(o(n)\) und \(O(n^\varepsilon)\) für jedes \(\varepsilon > 0\). Der Beweis von (1) selber folgt durch Heranziehung von Sätzen über Dichtigkeiten von Folgen natürlicher Zahlen, die an und für sich von Interesse sind. Das Verständnis wird durch zahlreiche Druckfehler erschwert. Der Satz ist von axiomatischer Bedeutung für den elementaren Beweis des Primzahlsatzes. Reviewer: Carl Ludwig Siegel (Princeton) Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 5 ReviewsCited in 2 Documents MSC: 11N05 Distribution of primes 11M45 Tauberian theorems Keywords:elementary proof; prime number theorem; Tauberian theorem; densities of sequences of natural numbers PDFBibTeX XMLCite \textit{P. Erdős}, J. Indian Math. Soc., New Ser. 13, 131--144 (1949; Zbl 0034.31501)