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Die metrische Form in der absoluten und der elliptischen Geometrie. (German) Zbl 0015.31205


Keywords:

Geometry
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References:

[1] Im Rahmen der Untersuchungen der Verfasser über die Grundlagen der Geometrie wurden die Sätze 1 und 4 von F. Bachmann, der Satz 2 von K. Reidemeister bewiesen. Die Vereinigung dieser Ergebnisse führte zum Beweis von Satz 5 Die Darstellung übernahm F. Bachmann.
[2] Würde man z. B. die Kongruenzaxiome (Gruppe III) des Hilbertschen Axiomensystems der euklidischen Geometrie durch ein gleichwertiges System von Kongruenzaussagen, in das der ”Zwischen”-Begriff nicht eingeht (III*), ersetzen und eine ebene Geometrie betrachten, die die Axiome I 1–3, III*, IV erfüllt, so wäre der Körper dieser Geometrie formal-reell und ließe sich also ordnen. Daher könnte in dieser Geometrie auch ein ”Zwischen”-Begriff definiert werden, der die Axiome der Gruppe II erfüllt.
[3] F. Bachmann, Eine Begründung der absoluten Geometrie in der Ebene. Math. Annalen113, S. 424–451. Im folgenden zitiert als ”A. G.”.
[4] Ein System von Punkten und Geraden mit elliptischer Metrik erfüllt das Axiomensystem der absoluten Geometrie allerdings nur, wenn zwei zueinander polare. Elemente nicht gleichzeitig zu dem System gehören.
[5] E. Podehl und K. Reidemeister, Eine Begründung der elliptischen Geometrie. Hamb. Abh.10 (1934), S. 231–255. Im folgenden zitiert als ”E. G.”. · Zbl 0009.17703 · doi:10.1007/BF02940677
[6] Ein PunktP heißtPol der Geradeng, wenn vonP zwei Lote aufg gefällt werden können.
[7] UnterSpiegelpunkten werden Spiegelpunkte in bezug auf eine beliebige Gerade verstanden, und zwar heißtP Spiegelpunkt vonQ in bezug aufg, wenn die Gerade (PQ) zug senkrecht ist und die StreckePQ von dem Schnittpunkt der Geraden (PQ) undg halbiert wird.
[8] Ein Beispiel einer singulär absoluten Geometrie, die nicht streng singulär ist, ist die von M. Dehn [s. u. Anm. 14) Math. Annalen53 (1900), S. 436–471] eingeführte semi-euklidische Geometrie.
[9] Zum Begriff der affinen Spiegelung vgl. Beweis Satz 2, 1.
[10] Math. Annalen53 (1900), S. 436–471.
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