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Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (German) Zbl 0008.25502


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References:

[1] E. E. Levi, Sulle equazione lineari totalmente ellitiche. Rend. d. Circ. mat. di Palermo24 (1907), S. 275-317. · JFM 38.0402.01 · doi:10.1007/BF03015067
[2] W. Sternberg, ?ber die lineare elliptische Differentialgleichung, Math. Zeitschr.21 (1924), S. 286-311; G. Giraud, G?n?ralisation des probl?mes sur les op?rations du type elliptique, Bull. des Sc. Math.56 (1932), S. 1-93; dort werden auch die fr?heren Arbeiten dieses Verfassers zitiert. · JFM 50.0647.01 · doi:10.1007/BF01187471
[3] Die in Betracht kommenden Ungleichheiten findet man f?r Gebiete der KlasseA h und erste. Ableitungen bei J. Schauder, Potentialtheoretische Untersuchungen I. Math. Zeitschr.33 (1931), S. 602-640, f?r zweite und h?here Ableitungen (Gebiete der KlasseBh) bei O. D. Kellog, On the derivates of harmonic functions on the boundary, Trans. of the Math. Soc.33 (1931), S. 486-510. An den erw?hnten Stellen werden die Beweise im Raume durchgef?hrt, das Beweisverfahren bleibt auch im Fallen=2 undn>3 g?ltig. · Zbl 0001.33602 · doi:10.1007/BF01174371
[4] , Theorem VI, S. 508
[5] Vgl. z. B. S. Bernstein, Sur la g?neralisation du probl?me de Dirichlet, Math. Ann.69, (1910), S. 82-136, insb. S. 95. · JFM 41.0427.02 · doi:10.1007/BF01455154
[6] F. Riesz, ?ber lineare Funktionalgleichungen, Acta Mathematica41 (1918), S. 71-98, insb. Satz 3 und 7. Aus dem Satze 4 der Rieszschen Arbeit folgt auch allgemein die Existenz, einer Konstante, so da? ?f?f??C??? gilt. Dies schlie?t die in der Fu?note (50) behauptete Absch?tzung der allgemeinen elliptischen Differentialgleichung in sich. Besitzt die Gleichung (46) bzw. (52) Null?sungen, so gibt es nach einem weiteren Satz von F. Riesz (Satz I) unter ihnen nur endlich viele linear unabh?ngige. Auch jetzt kann in gewissem Sinne die Existenz einer KonstanteC behauptet werden. Ist ? eine beliebige Funktion (rechte Seite) f?r welche sich die Gleichung (46) l?sen l??t, so gibt es unter den L?sungen u wenigstens eine, f?r welche280-1 (Satz4 bei Riesz). In diesem Falle kann auch die lineare Mannigfaltigkeit derjenigen Funktionenf, f?r welche die Gleichung (46) l?sbar ist, leicht bestimmt werden. (Siehe z. B. J. Schauder, ?ber lineare, vollstetige Funktionaloperationen, Studia Math.2, (1930), S. 183-196. insb. Satz II. Augenscheinlich handelt es sich in dieser Fu?note um die am Rande verschwindende L?sungen. · JFM 46.0635.01 · doi:10.1007/BF02422940
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