×

On the additive properties of numbers. (Über additive Eigenschaften von Zahlen.) (German. Russian translation) Zbl 0006.10402

Math. Ann. 107, 649-690 (1933); Russian translation in Usp. Mat. Nauk 7, 7-46 (1940).
Jede Folge \(F\) aus wachsenden natürlichen Zahlen \(n_1, n_2, \dots\) mit ,,positiver Dichtigkeit”, d. h. mit \(N(x)/x \geq \alpha > 0\), wo \(N(x)\) die Anzahl der \(n_i\leq x\) bedeutet, oder auch nur mit ,,fast positiver Dichtigkeit”, d. h. mit \(\underline{\lim}_{x\to\infty} (N(x)/x) > 0\), erweist sich als ,,Basis der natiirlichen Zahlen”; d. h. die positiven Vielfachen \(x\) einer passenden natürlichen Zahl (also, wenn. \(n_1= 1\) ist, alle natürlichen Zahlen \(x)\) sind Summen einer beschränkten Anzahl von Größen \(n_i\). Nach Aufstellung einer ideenreichenden Bedingung daß diese Summenglieder sogar oberhalb \(\lambda x\) mit festem \(\lambda >0\) gewählt werden können, befaßt sich der Rest der Arbeit mit Bedingungen dafür, daß die Folge \(F\) eine ,,beständige Basis der natürlichen Zahlen” darstellt, d. h. daß jede ,,dichte” Teilfolge von \(F\) (z. B. \(F\) selbst) eine Basis der natürlichen Zahlen bildet. Eine Teilfolge heißt dabei dicht, wenn \(N_1(x)/N(x)\geq \alpha > 0\) ist, wo sich \(N_1(x)\) auf die Teilfolge, \(N(x)\) auf \(F\) bezieht. In den im folgenden genannten Sätzen wird von vornherein \(n_1= 1\) angenommen.
Für eine passende positive, monoton wachsende Funktion \(\varphi(i)\) sei \(n_i=O(i\varphi(i))\). Es sei \(B(z)\) die Lösungszahl von \(n_i + n_j = z\), \(A(y,x)\) die von \(n_i - n_j = y\), \(n_i < x\), \(n_j<x\). Dann erweist sich die Bedingung \(\sum_{z=1}^x B^2(z) = O(x^3/\varphi^4(x))\) und im Falle \(\varphi(i)=O(\sqrt i)\) im Anschluß an Landau auch die Bedingung \(\sum_{y=1}^x A^2(y,x) = O(x^3/\varphi^4(x))\) als hinreichend dafür, daß die Folge \(F\) eine beständige Basis der natürlichen Zahlen bildet and überdies schon die Folge aller \(n_i + n_j\) positive Dichtigkeit hat.
Mit Hilfe dieser Ergebnisse zeigt sich insbesondere, daß die aus der Zahl \(1\) and den Primzahlen bestehende Folge und somit auch die aus der Zahl \(1\) and den Primzahlen einer beliebigen arithmetischen Progression bestehende Folge eine beständige Basis der natürlichen Zahlen bildet.
Die Anzahl der Darstellungen einer Zahl \(i\) als Summe von \(u\) Größen \(n_\nu\leq x\) werde bei festem \(u>0\) mit \(A_i(x)\) bezeichnet; es sei \(D(x)=\sum_{j=1}^x A_j^2(x)\). Wenn dann (bei passendem \(u\)) \(D(x)=O(N^{2u}(x/u)/x)\) ist, so hat die Folge aller nicht leeren Summen von höchstens \(u\) Gliedern von \(F\) positive Dichtigkeit. Übrigen ist \[ D(x)\leq \int_0^1 | f(x,y)|^{2u}\, dy, \] wo \(f(x, y) =\sum_{n_\nu\leq x} e^{2\pi in_\nu \nu}\) gesetzt ist; daher genügt es für die positive Dichtigkeit, wenn dieses Integral bei passendem \(u\) die obige Größenordnung hat. Zugleich aber erweist sich die Folge dann sogar als beständige Basis der natürlichen Zahlen. Mittels theses Satzes ergibt sich, daß die Folge der Potenzen \(n^p\) \((n=1, 2, \dots)\) für eine beliebige natürliche Zahl \(p\) eine beständige Basis der natürlichen Zahlen darstellt. (Der Waring-Hlbertsche Satz handelt nur von einer Basis schlechthin.)

MSC:

11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML MNR

References:

[1] Hierbei hat man die Glieder ?y i vony i wegzulassen.
[2] Diese gegen?ber meiner urspr?nglichen versch?rfte Formulierung von Satz 4 und der folgende Beweis sind von Herrn Landau gegeben. Landau, G?ttinger Nachrichten 1930.
[3] Viggo Brun, Le crible d’Eratosth?ne et le th?or?me de Goldbach. Videnskapsselskapets Skrifter, I, Math.-Naturw. Kl., 1920, Nr. 3, Kristiania.
[4] Rademacher, Beitr?ge zur Viggo Brunschen Methode in der Zahlentheorie (I), Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universit?t3 (1924), und Landau, G?ttinger Nachrichten 1930. · JFM 49.0128.05
[5] Vgl. etwa Landau, Zahlentherie 1, S. 341.
[6] Vgl. etwa Landau, Zahlentheorie1, S. 253.
[7] Vgl. etwa Landau, a. a. O., S. 250.
[8] Siehe etwa Landau, Zahlentheorie1, S. 100.
[9] c(?) undc sind vonp abh?ngig;p ist aber fest.
[10] b,c sind in (128) definiert.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.