Grunsky, Helmut Neue Abschätzungen zur konformen Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Bereiche. (German) Zbl 0005.36204 Schr. Math. Semin. u. Inst. Angew. Math. Univ. Berlin 1, 95-140 (1932). Die Grundlage der Untersuchung bildet eine allgemeine Ungleichung, die für sämtliche Funktionen \(f(\zeta) = re^{i\phi}\) gilt, welche in einem endlich vielfach zusammenhängenden Bereich \(\mathcal B\) meromorph sind und dort endlich viele Null- und Unendlichkeitsstellen besitzen. Sie gibt eine untere Schranke für das Integral \(\int_{\mathcal B} \log r d\phi\), erstreckt über den Rand \(\mathcal R\) von \(\mathcal B\) in positivem Sinne. Diese enthält von \(f(\zeta)\) die ersten Laurentkoeffizienten in den Nullstellen und Polen der Funktion und die Umlaufszahlen (Gesamtzuwachs des Arkus) der Funktion längs der einzelnen Randkomponenten. Neben diesen Größen enthält die Schranke endlich viele Parameter, die von gewissen von \(\mathcal B\) und der Lage der Nullstellen und Pole abhängigen Hilfsfunktionen herrühren. Durch dem jeweils vorliegenden Problem angepaßte Spezialisierung derselben wird eine Reihe von neuen Abschätzungen erhalten, von denen einige hervorgehoben seien. 1. \(\mathcal B\) enthalte \(\zeta = 0\) und \(\zeta = \infty\). \(f(\zeta)\) vermittle eine schlichte Abbildung von \(\mathcal B\), und es sei \(f(\infty) = \infty\), \(f'(\infty)=1\). Dann gibt es zu jedem \(\zeta\) aus \(\mathcal B\) zwei Zahlen \(r(\zeta)\), \(m(\zeta)\), von denen die erste positiv ist, so daß \[ \log f'(\zeta) - m(\zeta) \leq r(\zeta) \]gilt. Unter \(\log f'(\zeta)\) ist der bei \(\zeta = \infty\) verschwindende Zweig zu verstehen. Zu jedem Wert \(m (\zeta) + \tau r(\zeta)\) \(|\tau|=1\) gibt es eine Funktion, so daß \(\log f'(\zeta) = m (\zeta)+\tau r(\zeta)\) ist. Sie ist bis auf eine additive Konstante bestimmt und vermittelt die Abbildung auf die längs gewisser Bögen von logarithmischen Spiralen mit dem asymptotischen Punkt \(f (\zeta)\) aufgeschlitzte Ebene.Einen noch allgemeineren Satz hat H. Grötzsch bewiesen [Ber. Verh. Sächs. Akad. Leipzig 84, 15–36 (1932; Zbl 0005.06802); Ber. Verh. Sächs. Akad. Leipzig 84, 3–14 (1932; Zbl 0005.06801)]. Bildet \(s(\zeta)\) den Einheitskreis \(\zeta< 1\) auf einen schlichten Bereich ab, der \(s =\infty\) nicht enthält, so ist, falls \(s (0) = 0\), \(s' (0) = 1\) ist, \[ \left|\log\frac{s(\zeta)}{\zeta}+\log(1-|\zeta|^2)\right| \leq \log \frac{1+|\zeta|}{1-\zeta}, \]\[ \left|\log\frac{s'(\zeta)\zeta}{s'(\zeta)}\right| \leq \log \frac{1+|\zeta|}{1-\zeta},\quad |\log s'(\zeta)+\log (1-|\zeta|^2)|\leq 2\log \frac{1+|\zeta|}{1-\zeta}. \]Die Logarithmen bedeuten jedesmal den für \(\zeta= 0\) verschwindenden Zweig. Alle Schranken sind scharf. In einem Schlußparagraphen wird das Extremumproblem gelöst, unter allen in 58 regulären Funktionen, die an zwei Stellen vorgeschriebene Werte annehmen, diejenige zu finden, für die der Flächeninhalt des Bildes ein Minimum wird. Für einfach zusammenhängende Bereiche ist es bereits früher von Kubota behandelt worden. Reviewer: K. Loewner (Prag) Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 2 ReviewsCited in 8 Documents MSC: 30C35 General theory of conformal mappings Keywords:complex functions Citations:Zbl 0005.06802; Zbl 0005.06801 PDFBibTeX XML Full Text: EuDML