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Une généralisation à \(n\) dimensions du dernier théorème de géométrie de Poincaré. (French) Zbl 0001.17402

Verf. beweist folgenden Fixpunktsatz (dessen zweidimensionaler Fall an seine frühere Verallgemeinerung [Acta Math. 47, 297–311 (1926; JFM 52.0573.02) und „Dynamical systems“, New York: American Mathematical Society (1927; JFM 53.0732.01), Kap. V und VI] des „dernier théorème“ unmittelbar anschließt): Es sei \(x_1, \ldots, x_m; y_1, \ldots, y_m\) ein Koordinatensystem des \(R^{2m}\); man betrachte eine durch ein System im Anfangspunkt verschwindender reeller analytischer Funktionen \[ x'_i = \varphi_i(x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_m),\quad y'_i = \psi_i(x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_m) \] definierte Abbildung \(T\). Diese Abbildung soll dabei konservativ sein, d. h. die Flächeninhalte von Bereichen auf den \(m\) Ebenen \(x_i, y_i\) sollen erhalten bleiben. Es sei ferner \(C\) eine \(m\)-dimensionale Mannigfaltigkeit im \(R^{2m}\), deren Gleichung die Form \[ r_i = f_i(\theta_1,\ldots, \theta_m),\quad i=1, \ldots,m \] hat, wobei \(r_i\) und \(\theta_i\) Polarkoordinaten, die \(f_i\) positiv, analytisch und periodisch (mit der Periode \(2\pi\) in den \(\theta_i\)) sind. Schließlich wird noch vorausgesetzt, daß die stetige Abbildung \(T\) der Bedingung \(\theta'_i = \theta_i\) für alle Punkte von \(C\) genügt (dabei sind \(r'_i\), \(\theta'_i\) die Polarkoordinaten des Bildpunktes). Unter diesen Bedingungen liegen auf der Mannigfaltigkeit \(C\) mindestens \(2^m\) Punkte, die bei der Abbildung \(T\) Fixpunkte sind. Verf. gibt folgende dynamische Anwendung des neuen Fixpunktsatzes. Die konservativen Abbildungen lassen sich in eindeutiger Weise auf eine gewisse Normalform bringen, in der als Koeffizienten gewisse Konstanten \(\lambda_i\) und \(c_{ij}\) (bei den linearen und quadratischen Gliedern) auftreten. Im Falle einer stabilen periodischen Bewegung sind diese Konstanten rein imaginär. Nun lautet der neue dynamische Satz:
Wenn die Konstanten \(\lambda_i\), die zu einer periodischen Bewegung mit \(m+1\) Freiheitsgraden gehören, durch keine homogene lineare Relation mit ganzzahligen Koeffizienten verbunden sind und die Determinante \((c_{ij}) \ne 0\) ist, gibt es in jeder Umgebung der erwähnten periodischen Bewegung unendlich viele periodische Bewegungen.
Dieser Satz bildet eine Verallgemeinerung eines von Birkhoff früher [vgl. die beiden oben zitierten Arbeiten] nur für den Fall zweier Freiheitsgrade bewiesenen Satzes.

MSC:

54H25 Fixed-point and coincidence theorems (topological aspects)
37Bxx Topological dynamics
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