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Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Die Invarianz des Mittelpunktes von Kreiskörpern. (German) Zbl 0001.02303

Mit dieser Arbeit finden die Untersuchungen über die eineindeutigen analytischen Abbildungen Reinhardtscher Kreiskörper auf sich und aufeinander ihren Abschluß durch Aufstellung folgender Sätze:
1. Abgesehen vom Dizylinder und den kugelhaften Körpern \(| x|^2+ | y|^\alpha < 1\), \(| x|^\alpha+ | y|^2 < 1\) \((\alpha > 0)\) gestatten die Reinhardtschen Kreiskörper nur die trivialen Abbildungen \(T_{\vartheta\varphi}: x'=xe^{i\vartheta}\), \(y'=ye^{i\varphi}\) auf sich.
2. Zwei verschiedene Reinhardtsche Kreiskörper lassen sich nur dann aufeinander abbilden, wenn sie auch schon durch \(x'=ax\), \(y'=by\) oder \(x'=ay\), \(y'=bx\) aufeinander abbildbar sind. Gestützt auf die schon von H. Behnke erhaltenen Resultate [Abh. Hamb. 7, 329–341 (1930; JFM 56.0290.02)], in denen der Fall mittelpunktstreuer Abbildungen erledigt wird, zeigt Verf. zunächst, daß bei Existenz einer Abbildung, die einen von \((0,0)\) verschiedenen Punkt der Ebene \(x=0\) (bzw. \(y=0\)) in den Mittelpunkt überführt, der fragliche Kreiskörper eine Transformation der Form \(x'=xf(y)\), \(y'=\varphi(y)\) (analog im Falle der Ebene \(y=0\)) in sich gestattet, wo \(\varphi(y)\) eine beliebige den Einheitskreis in sich überführende lineare Substitution ist. Diese Bemerkung im wesentlichen gestattet für die Gleichung des Randes des betrachteten Kreiskörpers eine Funktionalgleichung aufzustellen, deren Lösung jene genannten Typen und die möglichen Transformationen ergibt. Das sind aber auch die einzigen Typen, die nicht mittelpunktstreue Abbildungen auf sich zulassen, da stets, wenn es überhaupt Punkte gibt, die durch eine solche Abbildung in den Mittelpunkt übergehen (sog. ausgezeichnete Punkte), auch schon auf einer der Ebenen \(x=0\) oder \(y=0\) ein ausgezeichneter Punkt liegen muß. Ist nämlich \((\alpha,\beta)\), \((\alpha,\beta\neq 0)\) ein ausgezeichneter Punkt, so zeigt Verf. mit Hilfe der Transformationen \(T_{\vartheta\varphi}\), daß die ausgezeichneten Punkte wenigstens ein gewisses Hyperflächenstück \(\sigma\) erfüllen müssen. Ist nun \(f(x, y)=0\) die Fläche, die bei der Abbildung in die Ebene \(x=0\) übergeht, so wird \(\sigma\) von \(f=0\) längs einer Linie geschnitten. Es gibt also jedenfalls einen Punkt auf \(f=0\), der in einen von \((0,0)\) verschiedenen Punkt der Ebene \(x=0\) übergeht und offensichtlich ausgezeichnet ist.
Der Verf. weist wiederholt auf Arbeiten von H. Cartan hin, die auf anderem Wege ähnliche Ziele verfolgen und dessen Resultate kombiniert mit denen des Verf. zu interessanten Bemerkungen über allgemeinere Abbildungsfragen Anlaß geben.

MSC:

32A07 Special domains in \({\mathbb C}^n\) (Reinhardt, Hartogs, circular, tube) (MSC2010)

Citations:

JFM 56.0290.02
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References:

[1] Carathéodory: Über das Schwarzsche Lemma bei analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen, Math. Annalen97, S. 76-98. · JFM 52.0345.02
[2] Über die Geometrie der analytischen Abbildungen, die durch analytische Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen vermittelt werden, Hamb. Abh.6, S. 96-145. · JFM 54.0372.04
[3] Kritikos, Über analytische Abbildungen einer Klasse von vierdimensionalen Bereichen, Math. Annalen99, S. 321-341. · JFM 54.0373.02
[4] Zu gleicher Zeit hat Herr H. Cartan eine größere, demnächst erscheinende Arbeit fertiggestellt: ?Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique?. Durch Austausch der Manuskripte habe ich erfahren, daß Herr Cartan mit allerdings ganz anderen Methoden §2 und §3 Satz 1 und 2 vorliegender Arbeit ebenfalls bewiesen hat.
[5] Wir wählen stets den Nullpunkt als Mittelpunkt, was ja keine Einschränkung bedeutet. Zu den obigen Körpern rechnet man meist auch die durch ganze lineare Transformationen aus ihnen entstehenden Bilder. Für alle diese Bereiche gilt natürlich gleichfalls das hier Bewiesene.
[6] K. Reinhardt, Über Abbildungen der analytischen Funktionen zweier Veränderlichen, Math. Annalen83, S. 254-255, Theorem I und II.
[7] Vgl. H. Behnke, Die Abbildungen der Kreiskörper, Hamb. Abh. 7. Ein allgemeiner Kreiskörper ist ein vierdimensionaler Bereich, der durch alle Ebenenz=cw in konzentrischen Kreisscheiben geschnitten wird. Er läßt also die Transformationen zu:z?=ze ??,w?=we i? (? reell). Durch eine ganze lineare Transformation geht ein solcher Körper wieder in einen Kreiskörper über.
[8] Vgl. 3a) Zu gleicher Zeit hat Herr. H. Cartan eine größere, demnächst erscheinende Arbeit fertiggestellt: ?Les fonctions de deux variables complexes et le problème de la représentation analytique?.
[9] UnterAT z(?)A ?1 verstehen wir die Hintereinanderausführung der Transformationen in der Reihenfolge von rechts nach links.
[10] Vgl. 6), Die Abbildungen der Kreiskörper, Hamb. Abh. 7. S. 340-341.
[11] Es muß natürlich der Punkt von (0, 0) verschieden sein.
[12] Es folgt weiterhin, daß in diesem FalleK symmetrisch ist.
[13] Normierung siehe § 1.
[14] Hilfssatz 1 ist der sogenannte Fundamentalsatz über assoziierte Konvergenzradien. Siehe auch 15). (Siehe die Arbeiten von Hartogs und Faber, Math. Annalen62 un d61.)
[15] Vgl. Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie2 (1924), S. 32, 1. Satz.
[16] Man beachte, daß die Absolutbeträge der zuR gehörigenz- undw-Wertekontinuierlich zwischen zwei Grenzen (0?|z|?d 1>0; 0?|w|?d 2>0) schwanken.
[17] Siehe 5) Über Abbildungen der analytischen Funktionen zweier Veränderlichen, Math. Annalen83. Theorem III, S. 255.
[18] Über die Abbildung der Hartogsschen Bereiche siehe auch: H. Welke, Münster, Über die analytischen Abbildungen von Kreiskörpern und Hartogsschen Bereichen, Math. Annalen103.
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