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Sur le rayon d’univalence des polynômes. (French) Zbl 0001.01803

Ist \(f(x)\) eine in einer Umgebung von \(x=0\) regulär analytische Funktion mit \(f'(0)\neq 0\), so heiße die Zahl \(R>0\) Schlichtheitsradius von \(f(x)\), wenn \(R\) die größte Zahl ist, so daß \(f(x)\) schlicht ist für \(| x| < R\). Der Verf. formuliert ohne Beweis die folgenden Sätze:
1. Für ein Polynom \(f(x) =\sum_{\nu=1}^n a_\nu x^\nu\) erhält man den Schlichtheitsradius \(R\), indem man für jedes \(\theta\), \(0\leq\theta\leq\pi\), die absolut kleinste Wurzel \(x(\theta)\) der Gleichung
\[ a_1+a_2\frac{\sin 2\theta}{\sin\theta}x+a_3\frac{\sin 3\theta}{\sin\theta}x^2+\ldots+a_n\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}x^{n-1}=0 \]
findet und \(R = \min_{0\leq\theta\leq\pi} | x(\theta)|\) setzt.
2. Sind \(R\) bzw. \(R'\) die Schlichtheitsradien der Polynome \(f(x)=\sum_{\nu=1}^n a_\nu x^\nu\) bzw. \(\varphi(x)=\sum_{\nu=1}^n b_\nu x^\nu\) und ist \(b_1b_2\cdots b_n\neq 0\), so gilt \(R\geq |\lambda| R'\), wo \(\lambda\) die absolut kleinste Wurzel der Gleichung \[ \psi(x)=\frac{a_1}{b_1}+\binom{n-1}{1}\frac{a_2}{b_2}x+\binom{n-1}{2}\frac{a_3}{b_3}x^2+\ldots+\frac{a_n}{b_n}x^{n-1}=0 \]
bedeutet.
Aus diesen Sätzen folgt, wenn für \(\psi(x)\) in 2. \(\frac{f(x)}{x}\) bzw. \(f'(x)\) gesetzt wird, ein Satz von J. W. Alexander II [Ann. Math. (2) 17, 12–22 (1915; JFM 45.0672.02; Zbl 02616960)] und ein Satz von S. Kakeya [Tôhoku Math. J. 11, 5–16 (1917; Zbl 02609909)] (insbesondere S. 13). Ferner gibt der Verf. für Polynome der Form \(f(x) = x+x^2+ax^n\) obere Schranken von \(R\) an, welche von \(a\) nicht abhängen, bei entsprechender Wahl von \(a\) erreicht werden und kleiner sind als die für alle regulären \(f(x)\) geltende Schranke \(2\frac{| a_1|}{| a_2|}\). Nicht ganz so scharfe Ergebnisse werden für \(f(x)=x+x^p+ax^n\) mitgeteilt. Schließlich wird eine obere Schranke von \(R\) für \(f(x)=x+x^2+a_2x^4+ a_3 x^6+ \ldots+a_n x^{2n}\) angegeben, unter der Voraussetzung, daß alle \(a_\nu\) positiv sind.

MSC:

30C35 General theory of conformal mappings
30C10 Polynomials and rational functions of one complex variable
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