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Über den Konvergenzbereich der Potenzreihenentwicklung einer harmonischen Funktion von \(n\) Veränderlichen. (German) Zbl 0001.01604

Une fonction \(u(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) étant harmonique à l’intérieur de la hypersphère unité \((x_1^2+x_2^2+\ldots + x_n^2< 1)\), elle est développable toujours dans un voisinage du point \(O\) en série de puissance de \(n\) variables \(x_1, x_2, \ldots, x_n\). Après avoir attribué aux variables des valeurs complexes, M. Gronwall étude le domaine de convergence de cette série et démontre le théorème suivant: le plus grand domaine (dans l’espace complexe à \(n\) dimensions) où le développement en série de puissance de toute fonction, harmonique dans la hypersphère unité, converge, est déterminé par les inégalités:
\[ \sum_1^n| x_\nu|<\tfrac 12\text{ lorsque } | x_1|\leq\tfrac 12,\;| x_2|\leq\tfrac 12,\ldots,\;| x_n|\leq\tfrac 12, \] et \[ \sum_1^n | x_\nu|^2- | x_k|^2-(1-| x_k|)^2<0\text{ lorsque } \tfrac 12\leq | x_k|\leq 1\quad (k=1,\ldots, n). \]
Les calcalculs se simplifient considérablement dans le cas \(n=2\) et c’est dans ce cas que M. Gronwall retrouve par la voie rapide un théorème antérieur de M. Bôcher: lorsque le cercle unité est le plus grand cercle où une fonction \(u(x,y)\) est harmonique, le domaine de convergence de son développement en série de puissance de \(x, y\) est détermine par l’inégalité \(| x|+| y| < 1\). Cette proposition ne s’étend pas au cas \(n > 2\); en effet, M. Gronwall montre que pour \(n > 2\) il y a de fonctions pour lesquelles la sphère unité est la plus grande sphère où ces fonctions sont harmoniques, tandisque les développements en séries de puissance ont les domaines de convergence différents.

MSC:

31B05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions in higher dimensions
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Full Text: DOI EuDML