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Spaces with exceptional fundamental groups. (English) Zbl 0831.22003

Dieser Übersichtsartikel ist der Interpretation einfacher komplexer und reeller Liescher Gruppen als Automorphismengruppen von Geometrien gewidmet. In den ersten beiden Abschnitten zählt der Autor die bekannten Möglichkeiten auf, die klassischen Gruppen der vier unendlichen Serien als Automorphismengruppen von Geometrien darzustellen. Ab dem 3. Abschnitt beschäftigen den Verf. die Ausnahme-Liegruppen als Bewegungsgruppen elliptischer und hyperbolischer Ebenen über der Divisionsalgebra der Oktaven, der Split-Algebra der Oktaven sowie über den Tensorprodukten einer solchen Algebra mit einer der folgenden Algebren: komplexe Zahlen, anormale komplexe Zahlen, Quaternionen, Split- Quaternionen, Oktaven und Split-Oktaven. Er diskutiert die Beziehungen dieser Darstellungen zu Isotropiegruppen symmetrischer Räume und zu Automorphismengruppen von Graßmann- und von Fahnenmannigfaltigkeiten. Im 5. Abschnitt wird man an die metasymplektischen Geometrien von H. Freudenthal erinnert, die als Automorphismengruppen nichtkompakte Liegruppen der Typen \(F_4\), \(E_6\), \(E_7\) und \(E_8\) haben. Der achte Abschnitt befaßt sich mit linearen Darstellungen Liescher Gruppen; der Autor beschreibt explizit die Fundamentaldarstellungen von Ausnahme-Liegruppen. Jedem, der nach einer geometrischen Interpretation und Materialisierung einer einfachen Liegruppe sucht und sich nicht in die umfangreichen Arbeiten und Bücher des Verf. [z.B. Nichteuklidische Geometrien, Moskau 1955] und seiner Schule vertiefen mag, kann die im Artikel gegebene Übersicht konkrete Hilfestellung geben.

MSC:

22E46 Semisimple Lie groups and their representations
51F99 Metric geometry
53C35 Differential geometry of symmetric spaces
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Full Text: EuDML EMIS