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On defining the generalized functions \(\delta^ \alpha(z)\) and \(\delta^ n(x)\). (English) Zbl 0795.46022

Die Definition von nicht-linearen Funktionen einer \(\delta\)-Distribution ist mit Schwierigkeiten verbunden. So sind z.B. \(\sqrt{\delta}\) oder \(\sin\delta\) zunächst sinnlos [P. Antosik, J. Mikusinski and R. Sikorski, ‘Theory of distributions, the sequential approach’, Warszawa (1973; Zbl 0267.46028)]. Hier wird gezeigt, daß unter geeigneten Voraussetzungen die Cauchy’sche Formel zur Definition herangezogen werden kann, sodaß \[ \langle \delta^ \alpha(z),\;\varphi(z)\rangle \overset {\text{def}} = {1\over {(2\pi i)^ \alpha}} \oint {{\varphi(z)} \over {z^ \alpha}} dz. \] Mittels der Hilbertschen Transformation läßt sich nun zeigen, daß die geraden Potenzen von \(\delta(z)\) Null sind, die ungeraden jedoch proportional den Ableitungen von \(\delta(x)\) sind.
Das Hauptergebnis dieser Arbeit \[ \delta^{2k+1}(x)= {{(-1)^ k \delta^{(2k)}(x)} \over {(2\pi)^{2k} (2k)!}} \qquad \text{für } k=0,1,2,\dots \] wurde in ähnlicher Form und auf anderem Weg von den Autoren schon früher abgeleitet [E. L. Koh and C. K. Li, On the distributions \(\delta^ k\) and \((\delta')^ k\), to appear in Math. Nachr.].

MSC:

46F10 Operations with distributions and generalized functions
44A15 Special integral transforms (Legendre, Hilbert, etc.)
30E20 Integration, integrals of Cauchy type, integral representations of analytic functions in the complex plane

Citations:

Zbl 0267.46028
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