Smithies, F. On the theory of linear integral equations. (English) JFM 61.0423.01 Proc. Cambridge phil. Soc. 31, 76-84 (1935). Verf. untersucht Volterrasche Integralgleichungen, deren Kerne von der Beschaffenheit sind, wie sie Hille und Tamarkin (Ann. of Math. (2) 35 (1934), 443-455; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 315) betrachtet haben. Wie üblich bedeute \(g (x) \subset L^p(x)\), daß \(g (x)\) in \(a \leqq x \leqq b\) meßbar ist und \(\int\limits_a^b | g (x) |^p\, dx \) existiert. Sei \(p > 1\); über den Kern \(K (x, t)\) wird vorausgesetzt: \(K (x, t) \subset L^p (t)\) für \(a \leqq t \leqq x\) fast überall in \(a \leqq x\leqq b\), und \[ \alpha(x)=\Bigl[\int\limits_a^x |K(x,t)|^p\,dt\Bigr]^{\tfrac1p} \subset L^{\tfrac p{p-1}}. \tag{1} \] Notwendig und hinreichend dafür, daß die Gleichung \[ \varPhi(x) = f(x)+\lambda \int\limits_a^x K(x,t)\varPhi(t)\,dt \tag{2} \] eine Lösung \(\varPhi\subset L^{\tfrac p{p-1}}\) besitzt, ist \(f(x)\subset L^{\tfrac p{p-1}}\). Die Lösung \(\varPhi (x)\) ist dann eindeutig und läßt sich in der Form \[ \varPhi(x) = f (x) + \lambda f_1(x) + \lambda^2f_2(x) + \cdots \tag{3} \] darstellen, wo \(f_n (x)\) durch die Rekursion \[ f_0(x) = f(x),\quad f_{n+1}(x)=\int\limits_a^b K(x,t)f_n(t)\,dt \] erklärt ist. Der Beweis wird mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung in üblicher Weise geführt. Es wird jetzt der Fall \(p = 1\) untersucht, d. h. es sei \(K (x, t) \subset L^1 (t)\). Bedingung (1) wird durch \(\alpha(x)=\int\limits_a^x|K (x, t)|\, dt \leqq A\) fast überall in \(\langle a, b\rangle\) ersetzt, und \(\lambda\) muß auf die Werte \(| \lambda | < \dfrac1A\) beschränkt werden. Dann ist notwendig und hinreichend für die Existenz einer beschränkten Lösung von (2), daß es ein \(M > 0\) gibt, so daß fast überall in \(\langle a, b\rangle\) gilt \(| f (x) |\leqq M\). Die Lösung ist eindeutig und von der Form (3). Wenn ferner \(| K (x, t) \leqq \mu(x)\nu(t)\) gilt, wobei \(\mu (t) \nu (t) \subset L^1\), dann ist notwendig und hinreichend für die Existenz einer Lösung \(\varPhi (x)\) von (2) mit \(\nu (x) \varPhi (x) \subset L^1\), daß \(\nu (x) f (x) \subset L^1\) gilt. Die Lösung ist eindeutig und von der Form (3). Es wird noch an Beispielen gezeigt, daß die genannten Voraussetzungen nicht wesentlich erweitert werden können. Reviewer: Hammerstein, A., Prof. (Kiel) JFM Section:Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen und Funktionalanalysis. A. Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Funktionalgleichungen, insbesondere Integralgleichungen. PDFBibTeX XMLCite \textit{F. Smithies}, Proc. Camb. Philos. Soc. 31, 76--84 (1935; JFM 61.0423.01) Full Text: DOI