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On the theory of linear integral equations. (English) JFM 61.0423.01

Verf. untersucht Volterrasche Integralgleichungen, deren Kerne von der Beschaffenheit sind, wie sie Hille und Tamarkin (Ann. of Math. (2) 35 (1934), 443-455; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 315) betrachtet haben. Wie üblich bedeute \(g (x) \subset L^p(x)\), daß \(g (x)\) in \(a \leqq x \leqq b\) meßbar ist und \(\int\limits_a^b | g (x) |^p\, dx \) existiert. Sei \(p > 1\); über den Kern \(K (x, t)\) wird vorausgesetzt: \(K (x, t) \subset L^p (t)\) für \(a \leqq t \leqq x\) fast überall in \(a \leqq x\leqq b\), und \[ \alpha(x)=\Bigl[\int\limits_a^x |K(x,t)|^p\,dt\Bigr]^{\tfrac1p} \subset L^{\tfrac p{p-1}}. \tag{1} \] Notwendig und hinreichend dafür, daß die Gleichung \[ \varPhi(x) = f(x)+\lambda \int\limits_a^x K(x,t)\varPhi(t)\,dt \tag{2} \] eine Lösung \(\varPhi\subset L^{\tfrac p{p-1}}\) besitzt, ist \(f(x)\subset L^{\tfrac p{p-1}}\). Die Lösung \(\varPhi (x)\) ist dann eindeutig und läßt sich in der Form \[ \varPhi(x) = f (x) + \lambda f_1(x) + \lambda^2f_2(x) + \cdots \tag{3} \] darstellen, wo \(f_n (x)\) durch die Rekursion \[ f_0(x) = f(x),\quad f_{n+1}(x)=\int\limits_a^b K(x,t)f_n(t)\,dt \] erklärt ist. Der Beweis wird mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung in üblicher Weise geführt. Es wird jetzt der Fall \(p = 1\) untersucht, d. h. es sei \(K (x, t) \subset L^1 (t)\). Bedingung (1) wird durch \(\alpha(x)=\int\limits_a^x|K (x, t)|\, dt \leqq A\) fast überall in \(\langle a, b\rangle\) ersetzt, und \(\lambda\) muß auf die Werte \(| \lambda | < \dfrac1A\) beschränkt werden. Dann ist notwendig und hinreichend für die Existenz einer beschränkten Lösung von (2), daß es ein \(M > 0\) gibt, so daß fast überall in \(\langle a, b\rangle\) gilt \(| f (x) |\leqq M\). Die Lösung ist eindeutig und von der Form (3). Wenn ferner \(| K (x, t) \leqq \mu(x)\nu(t)\) gilt, wobei \(\mu (t) \nu (t) \subset L^1\), dann ist notwendig und hinreichend für die Existenz einer Lösung \(\varPhi (x)\) von (2) mit \(\nu (x) \varPhi (x) \subset L^1\), daß \(\nu (x) f (x) \subset L^1\) gilt. Die Lösung ist eindeutig und von der Form (3). Es wird noch an Beispielen gezeigt, daß die genannten Voraussetzungen nicht wesentlich erweitert werden können.
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