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Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik. (German) JFM 59.0796.02

In der vorliegenden Arbeit wird die Rolle des assoziativen Gesetzes der Multiplikation in einem Systeme physikalisch meßbarer Größen untersucht, um dadurch eventuell den Formalismus der Quantenmechanik erweitem zu können. Verf. untersucht zunächst sogenannte halbeinfache \(r\)-Zahlsysteme, die folgenden Axiomen genügen: Zunächst soll das Potenzgesetz \[ a^na^m = a^{n+m} (\text{I}) \] gelten. Für irgend zwei Größen \(a\) und \(b\) soll dann stets \[ [a, b, a] = 0 (\text{II}) \] gelten, wobei allgemein unter \([a, b, c]\) der Ausdruck verstanden wird: \[ [a, b, c] = (ab)c - a(bc), \] also eine Art Kommutator, dessen Verschwinden gleichbedeutend mit dem Bestehen des assoziativen Gesetzes ist. Jeder Größe \(a\) soll ferner eindeutig eine “adjungierte” Größe \(a^+\) zugeordnet sein, so daß \[ a^{++} = a,\;(a+b)^+ = a^+ + b^+,\;(ab)^+ = b^+ a^+,\;(\lambda a)^+ = \lambda ^* a^+, (\text{III}_1) \] wobei \(\lambda ^*\) die zu der “Koefftzientenzahl” \(\lambda \) konjugiert Komplexe ist. Schließlich soll sein: \[ aa^+ + bb^+ + cc^+ + \cdots \neq 0 (\text{III}_2) \] außer für \(a = b = c = \cdots = 0\). In dem System soll es eine endliche Basis linear unabhängiger Elemente geben.
Aus diesen Axiomen ergibt sich, daß in einem solchen System eine sogenannte Haupteinheit \(e\) existiert, die die Eigenschaft hat, daß für jedes \(x\) aus dem System \[ ex = xe = x \] ist. Ferner beweist Verf. für derartige halbeinfache Systeme den Satz von der vollständigen Reduzibilität. Darunter ist hier folgendes zu verstehen:
Ein Modul \(\mathfrak {M}\) sei die Menge aller \(\lambda a + \mu b\), wenn \(a\) und \(b\) zum System gehören und \(\lambda \) und \(\mu \) Koeffizientenzahlen sind. Gilt mit \(a\in \mathfrak {M}\) und \(b\in \mathfrak {M}\) auch \(ab\in \mathfrak {M}\), so heißt \(\mathfrak {M}\) ein Teilsystem oder eine Unteralgebra des Gesamtsystems. Ist \(\mathfrak {S}_1\) echtes Teilsystem von \(\mathfrak {S}\), und gilt \(ax \in \mathfrak {S}_1\) und \(xa\in \mathfrak {S}_1\), sobald nur \(a\in \mathfrak {S}_1\), so heißt \(\mathfrak {S}_1\) invariantes Teilsystem von \(\mathfrak {S}\). Man nennt nun \(\mathfrak {S}\) reduzibel, wenn man zwei invariante Teilsysteme \(\mathfrak {S}_1\) und \(\mathfrak {S}_2\) so finden kann, daß (1) sich jedes \(x\in \mathfrak {S}\) darstellen läßt in der Gestalt \(x = x_1+x_2\), wobei \(x_1\in \mathfrak {S}_1\) und \(x_2\in \mathfrak {S}_2\) und daß (2) für zwei beliebige \(x\) und \(y\) \[ x_1y_2 = y_2x_1 = 0 \] gilt. \(\mathfrak {S}\) heißt dann direkte Summe von \(\mathfrak {S}_1\) und \(\mathfrak {S}_2\). Es gilt: Jedes halbeinfache \(r\)-System \(\mathfrak {S}\) ist direkte Summe von einfachen \(r\)-Systemen: \[ \mathfrak {S} = \mathfrak {S}_1 + \mathfrak {S}_2 + \cdots + \mathfrak {S}_\varrho. \] (Ein einfaches System ist ein solches, das kein invariantes Teilsystem besitzt.) Offen bleibt noch die Frage nach der Gesamtheit aller möglichen einfachen \(r\)-Systeme. (III 5.)

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Full Text: EuDML