×

Kurventheorie. (German) JFM 58.1205.02

Herausgegeben unter Mitarbeit von G. Nöbeling. VI + 376 S. 1 Tafel. Leipzig, B. G. Teubner (1932).
Nach Behandlung der verschiedenen früheren Definitionen einer “Kurve” als eindeutige oder stetige Streckenbilder oder irreduzible Kontinua wird eine Kurve als eindimensionales Kontinuum entsprechend dem allgemeinen Mengerschen Dimensionsbegriff definiert. Diese Kurven sind in der Ebene mit den Cantorschen Kurven identisch und entsprechen besser als die früheren Definitionen der gewöhnlichen Vorstellung von einer Kurve.
Die Art der Begrenzungen von Umgebungsfolgen bestimmen dabei nicht nur das Wesen der Kurve an sich, sondern auch die einzelnen Ordnungsteile der Kurve, Endpunkte, gewöhnliche, reguläre, rationale und irrationale Punkte, deren Verteilung, Zusammenhang, Abgeschlossenheit in den folgenden Abschnitten behandelt werden. Ferner Zusammensetzung von Kurven, Zerlegungseigenschaften (der Pflastersatz für eindimensionale Mengen mit verschärften Bedingungen), \(\varepsilon \)-Deformierbarkeit in Streckenkomplexe, Trennbarkeitseigenschaften, \(n\)-Beinsatz und \(n\)-Bogensatz mit dem Nöbelingschen Beweis; notwendige und hinreichende Bedingungen für erblichen Zusammenhang im kleinen eines Kontinuums \(C\) (Fehlen von Konvergenzkontinua, jedes irreduzible Teilkontinuum ist ein Bogen, jede Teilmenge enthält höchstens endlich viele Komponenten mit Durchmesser \(>\varepsilon \), jede zusammenhängende Teilmenge ist stark zusammenhängend im kleinen; notwendige Bedingung ist, daß\^^M\(C\) eine rationale Kurve, hinreichende, daß\(C\) eine reguläre Kurve ist).
Im besonderen werden dann behandelt die regulären Kurven, die kennzeichnenden Eigenschaften beständig regulärer Kurven, der gewöhnlichen Kurven und Bögen, die rationalen Kurven, wobei die Punkte unendlicher Ordnung wieder nach Geschlecht und Typus eingeteilt werden können, Baumkurven und zyklische Kontinua.
Schließlich bringt Verf. seinen Beweis der Existenz einer im \(R_3\) liegenden Universalkurve (1926; F. d. M. 52, 595 (JFM 52.0595.*)), die nicht nur zu jeder Kurve eines \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes, sondern jedes beliebigen metrischen Raumes eine homöomorphe Teilmenge enthält. Daraus folgt dann auch, daßalle Sätze des Buches, die zunächst nur für in euklidische Räume eingebettete Kurven bewiesen wurden, ohne weiteres auch für die Kurven in beliebigen metrischen Räumen gelten.
Alle Sätze werden mit den ausführlichen Beweisen gebracht, die zum größten Teil teils vom Verf. selbst, teils von Urysohn oder den polnischen und amerikanischen Topologen stammen, vor allem auch aus den Arbeiten in den Fundamenta, ferner zahlreiche Beispiele, so u. a. für die Kurve, die nur Punkte wachsender Ordnung enthält (Nöbeling), die ebene Universalkurve (Sierpiński), die Universalbäume. Am Schlusse jedes Kapitels befinden sich die einschlägigen Literaturangaben.

Citations:

JFM 52.0595.*