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Lehrbuch der Funktionentheorie. 2. Band, 1. Lieferung. (German) JFM 50.0209.04

B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften, Band XX, \(2_1\). Leipzig: B. G. Teubner. vi, 242 S. (1924).
Von dem seit langem erwarteten zweiten Bande der Funktionentheorie ist jetzt die erste Lieferung erschienen. “Die allgemeine Theorie der Funktionen mehrerer komplexen Größen hat seit der Wende des Jahrhunderts bedeutende Fortschritte gemacht. Während bis dahin, außer den unmittelbaren Übertragungen bekannter Sätze im Falle einer unabhängigen Veränderlichen, kaum mehr als der Weierstraßsche Vorbereitungssatz und die Sätze von Cousin zu verzeichnen waren, erfuhr die Theorie bald darauf durch die Untersuchungen von Hartogs und E. E. Levi eine wesentliche Erweiterung. Auch die Veröffentlichung des zweiten Weierstraßschen Satzes bezüglich impliziter Funktionen, nebst den Untersuchungen amerikanischer Mathematiker betreffend die Umkehrung einer Transformation bei verschwindender Jacobischen Determinante, fiel in diese Zeit. Es tut jetzt not, diesen ganzen Stoff zu sichten und zu einem einheitlichen Ganzen zu verarbeiten, zumal deshalb, weil die Einfachheit manches Ergebnisses erst dann klar hervortritt, wenn dasselbe im Rahmen einer systematischen Darstellung verwandter Erscheinungen steht.”
Eine solche Durcharbeitung bringen die drei ersten Kapitel des zweiten Bandes der Osgoodschen Funktionentheorie, aus denen die vorliegende Lieferung besteht.
Das erste Kapitel (Integraldarstellungen und mehrfache Reihen. Die erweiterten Räume.) bringt die allgemeinen Grundlagen: Funktionen, Grenzwert, Stetigkeit; analytische Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen. Umkehrung eines Funktionensystems. Die Cauchysche Integralformel. Die Cauchy-Taylorsche Reihe. Der unendlich ferne Bereich, der Laurentsche Satz. Analytische Fortsetzung. Definition einer monogenen analytischen Funktion. Permanenz einer Funktionalgleichung und analytische Fortsetzung vermöge einer solchen.
Das zweite Kapitel (Implizite Funktionen. Teilbarkeit.) bringt in der Hauptsache die Theorie bis zu Weierstraß einschließlich: Mehrdeutige implizite Funktionen. Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz. Primfaktoren im Kleinen. Pseudopolynome. Reduktibilität. Durch Pseudopolynome definierte Gebilde und der zugehörige Riemannsche Raum. Pseudoalgebraische Gebilde; Funktionen an solchen. Der zweite Weierstraßsche Satz über implizite Funktionen. Umkehrung eines Funktionensystems. Gewöhnliche Nullstellen und identisches Verschwinden der Jacobischen Determinante. Monogene analytische Gebilde \(m\)-ter Stufe im Raume von \(m+r\)-Veränderlichen. Parameterstellung eines Elementes.
Das dritte Kapitel (Singuläre Stellen und analytische Fortsetzung. Rationale Funktionen) bringt die neueren Untersuchungen: Außerwesentlich singuläre Stellen. Hebbare Unstetigkeiten. Die Sätze von Hartogs und Levi über analytische Fortsetzung, über hebbare Singularitäten und die Verteilung der Singularitäten und über hinreichende Bedingungen für analytisches Verhalten. Die Sätze von Cousin betreffend Ausdehnung des Weierstraßschen Produktsatzes und des Mittag-Lefflerschen Partialbruchsatzes. Die Gebilde, welche dem Verschwinden einer ganzen Funktion entsprechen. Die Weierstraßsehen Sätze über rationale Funktionen. Algebraische Funktionen.
Eine allgemeine Würdigung des Inhaltes soll nach Erscheinen der zweiten (Schluß-)Lieferung erfolgen, die eine Behandlung der periodischen Funktionen mehrerer Argumente, eine Einleitung in die Theorie der algebraischen Funktionen und das Riemann-Weierstraßsche Theta-theorem bringen wird.

MSC:

32-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to several complex variables and analytic spaces