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Über den Zusammenhang zwischen den linearen Differential- und Differenzengleichungen. (German) JFM 32.0348.02

Zur Vervollständigung der früheren Arbeiten des Verf. (Acta Math. 22) über den fraglichen Zusammenhang wird von folgender Verallgemeinerung der bekannten Lagrangeschen Relation ausgegangen: Es sei eine lineare partielle Differentialgleichung in zwei unabhängigen Veränderlichen mit rationalen Koeffizienten auf die Form \[ \sum_{\mu, \nu =0}^{m,n} x^{\mu} y^{\nu} f_{\mu, \nu} \left(x\;\frac{\partial}{\partial x}, y\;\frac{\partial}{\partial y} \right) \varphi =0 \] gebracht, wo \[ f\left( x\;\frac{\partial}{\partial x}, y\;\frac{\partial}{\partial y} \right) \varphi = \sum_{h,k} C_{hk} \left( x\;\frac{\partial}{\partial x} \right)^h \left( y\;\frac{\partial}{\partial y} \right)^k \varphi; \] dann gilt die Beziehung \[ \varPhi \sum_{\mu,\nu =0}^{m,n} x^{\mu} y^{\nu} f_{\mu, \nu} \left( x\;\frac{\partial}{\partial x}, y\;\frac{\partial }{\partial y} \right) \varphi - \varphi \sum_{\mu, \nu =0}^{m,n} f\left( -x\;\frac{\partial}{\partial x}, -y\;\frac{\partial}{\partial y} \right) x^{\mu} y^{\nu} \varPhi \]
\[ = x\;\frac{\partial}{\partial x}\;P(\varphi, \varPhi) + y\;\frac{\partial}{\partial y}\;Q(\varphi, \varPhi), \] wo \(P\) und \(Q\) in \(\varphi\), \(\varPhi\) bilineare Differentialausdrücke bezeichnen. Hieraus wird der Satz abgeleitet: Bedeutet \(\varPhi\) eine Lösung der Differentialgleichung \[ (1) \qquad \sum_{\mu, \nu =0}^{m,n} f_{\mu \nu} \left( -x\;\frac{\partial}{\partial x}, -y\;\frac{\partial}{\partial y} \right) x^{\mu} y^{\nu} \varPhi =0, \] so ist \[ F(u,v) = \int_{(x)} \int_{(y)} \varPhi (x,y) x^{u-1} y^{v-1} dz dy \] unter der Bedingung, daßfür die gewählten Integrationswege \((x),(y)\) \[ \int_{(x)} \int_{(y)} \left( y^{-1}\;\frac{\partial}{\partial x}\;P+ x^{-1} \;\frac{\partial}{\partial y}\;Q \right) dx dy =0 \] ist, eine Lösung der Differenzengleichung \[ (2) \qquad \sum_{\mu, \nu =0}^{m,n} f_{\mu \nu} (u,v) F(u+ \mu,\;v+\nu) =0, \] und umgekehrt kann die Differenzengleichung (2) durch die Formel \[ \varPhi (x, \gamma) = \left( \frac{1}{2\pi i} \right)^2 \int_{(u)} \int_{(v)} F(u,v) x^{-u} y^{-v} du dv \] in die Differentialgleichung (1) transformiert werden, wenn der Integrationsweg \((u)\) um die Strecken \(1,2, \dots, m\), und der Integrationsweg \((v)\) um die Strecken \(1,2, \dots, n\), in der positiven oder negativen Richtung der reellen Achse verschoben werden können, ohne daßsich der Wert des Integrals dabei ändert. – Der Verf. betrachtet dann gewisse Systeme von partiellen Differentialgleichungen in zwei unabhängigen Variabeln, deren Integration mit Hülfe der Lösungen von Systemen simultaner Differenzengleichungen erster Ordnung geleistet werden kann. Die ersteren heißen hypergeometrische Differentialgleichungen in zwei Variabeln, während die letzteren die Eigenschaft haben, durch Gammafunktionen befriedigt werden zu können. Für die Andeutung des näheren Zusammenhangs zwischen den Lösungen beider Systeme beschränkt sich der Verf. auf die Darlegung des Zusammenhangs zwischen Gammafunktionen und den gewöhnlichen hypergeometrischen Differentialgleichungen \(m\)-ter Ordnung, d. h. Gleichungen von der Form \[ (a_0 -b_0 x)y + (a_1 - b_1 x)x\;\frac{dy}{dx} + \cdots + (a_m - b_m x)x^m\;\frac{d^m y}{dx^m} =0, \] wobei Hauptzweck der Nachweis ist, daßjede solche Differentialgleichung mit Hülfe von Gammafunktionen vollständig integriert werden kann.

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References:

[1] Über die Integration partieller linearer Differentialgleichungen durch vielfache Integrale. April 1896.Über die Integration simultaner linearer Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale. Mai 1896.
[2] Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. T. 5, 1891.
[3] Théorie analytique des probabilités.
[4] Sopra una trasformazione delle equazione differenziali lineari in equazioni alle differenze, e viceversa. Nota letta al Istituto Lombardo nell’ adunanza del 17 giugno 1886.
[5] Siehe meine oben citirte Arbeit über partielle Differentialgleichungen.
[6] Journal de mathématiques. S. III. T. 8.
[7] SieheÜber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und der hypergeometrischen Functionen. (Acta Societatis Scientiarum Fennicae. Tom. 21, 1895.) Der Zusammenhang zwischen den Gammafunktionen und den partiellen hypergeometrischen Differentialgleichungen ist in meiner ArbeitZur Theorie zweier allgemeinen Classen bestimmter Integrale (Acta Fenn. Tom. 22.) näher erörtert worden.
[8] Siehe hinsichtlich dieser Formel meine ArbeitZur Theorie der linearen Differenzengleichungen erster Ordnung. Acta math. Bd. 15.
[9] SieheSulle funzioni ipergeomctriche generallizate. Rend. d. Accad. dei Lincei. Vol. IV. fasc. 12, 13. S. 792–799. 1888. Herr Pincherle zeigt, dass das obige Integral einer hypergeometrischen Differentialgleichung genügt. Hier kommt meines Wissens zum ersten Male in der Litteratur eine hypergeometrische Funktion in der Form eines bestimmten, überGammafunktionen erstreckten Integrals vor.
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