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Lectures on Number Theory, edited by R. Dedekind. Second edition. (Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von R. Dedekind. Zweite Auflage.) (German) JFM 03.0063.01

Braunschweig. Vieweg (1871).
Die erste Auflage des vorliegenden Werkes ist allgemein bekannt. Wir haben daher nur die Veränderungen der zweiten Auflage gegen die frühere ins Auge zu fassen. Die Haupt-Umgestaltung besteht in der Hinzufügung eines zehnten Supplements “über die Composition der binären quadratischen Formen.” Es sind hierdurch mancherlei kleinere Änderungen auch im Texte nothwendig geworden; im ganzen ist derselbe aber ungeändert geblieben. Der Titel des Supplements bezieht sich vor allem auf die erste Hälfte desselben, in welcher den zusammenzusetzenden Formen von vorn herein gleiche Determinanten gegeben werden. Es werden die Untersuchungen über die Composition der Klassen und der Geschlechter, über die Anzahl der ambigen ursprünglichen Klassen erster Art, über die der wirklich existirenden Geschlechter u. s. w. durchgeführt. Der zweite Theil des Supplements betrachtet die Frage von allgemeinerem Standpunkte aus. Jedes System unendlich vieler reeller oder complexer Zahlen, welches sich durch Addition, Subtraction, Multiplication und Division reproducirt, heisst ein Zahl-Körper. Der Körper \(A\) ist Divisor von \(B\), wenn alle in \(A\) befindlichen Zahlen auch in \(B\) enthalten sind. Ein Körper heisst “endlich”, wenn er nur eine endliche Zahl von Divisoren enthält. Aus solchem Körper kann man \(n\) von einander unabhängige Zahlen \(\omega_{1},\omega_{2},.. \omega_{n}\) so auswählen, dass jede Zahl des Körpers in der Form \(\omega=\varSigma_{1}^{n} h_{\nu}\omega_{\nu}\) erscheint, wobei die \(h_{\nu}\) rationale Zahlen bedeuten. Die \(\omega\) sind dabei Wurzen von Gleichungen \(n^{\text{ten}}\) Grades. Ist der erste Coefficient dieser Gleichung 1, und sind die übrigen ganze Zahlen, so heisst \(\omega\) eine algebraische ganze Zahl; die \(\omega_{\nu}\) können stets so gewählt werden, dass bei allen Zahlen \(\omega\) auch die \(h_{\nu}\) ganze rationale Zahlen sind. Um nun in solchen Körpern die Analoga von Primzahlen zu finden, stellt man folgende Betrachtungen an. Ein System \(\mathfrak{a}\) von Zahlen eines Körpers, welche sich durch Addition und Subtraction reproduciren, heisse ein Modul, und \(\omega \equiv \omega'\pmod{\mathfrak a}\) bedeute, dass \(\omega -\omega'\) diesem Systeme \(\mathfrak{a}\) angehört. Eine ganze Zahl \(\mu\), welche keine Einheit ist, (d. h. nicht in allen Zahlen des Körpers aufgeht) soll eine Primzahl heissen, wenn jedes durch \(\mu\) theilbare Product \(\eta \varrho\) wenigstens einen durch \(\mu\) theilbaren Factor \(\eta\) oder \(\varrho\) besitzt. Ist aber \(\eta \varrho\) durch \(\mu\) theilbar, ohne dass \(\eta\) oder \(\varrho\) es ist, so ist möglicherweise \(\eta=\nu \eta'\) und \(\mu=\nu \mu'\), so dass \(\eta'\) und \(\mu'\) relative Primzahlen sind, (d. h. dass jede durch \(\eta'\) und \(\mu'\) theilbare Zahl auch durch \(\eta' \mu'\) theilbar ist) und dann ist \(\mu'\) wesentlich dadurch bestimmt, dass alle Wurzeln \(\alpha\) der Congruenz \(\eta \alpha \equiv 0\) (mod. \(\mu\)) durch \(\mu'\) theilbar sind; giebt es aber keine solche Zahl \(\mu'\), so kann man eine solche durch die obige Congruenz definirte als ideale Zahl einführen. Es soll nun ein System \(\mathfrak a\) von unendlich vielen im Körper \(\mathfrak o\) enthalten Zahlen ein Ideal heissen, wenn es sich durch Addition und Subtraction reproducirt, und wenn das Product einer Zahl aus \(\mathfrak{a}\) mit einer Zahl des Körpers \(\mathfrak o\) wieder zu \(\mathfrak a\) gehört. Es bilden dann alle durch eine Zahl \(\eta\) theilbaren Zahlen ein Ideal \(\mathfrak{i}(\eta)\), welches Hauptideal heissen soll. Ein von \(\mathfrak{o}\) verschiedenes Ideal \(\mathfrak{p}\), welches ausser \(\mathfrak{o}\) und \(\mathfrak{p}\) keinen Theiler besitzt, ist ein Primideal; ein solches kann stets als Inbegriff aller Wurzeln \(\pi\) einer Congruenz \(\nu \pi \equiv 0 \pmod{\mu}\) aufgefasst werden. Jedes Ideal ist das kleinste gemeinsame Vielfache aller in ihm aufgehenden Potenzen von Primidealen; relative Primideale sind solche, deren gemeinsamer Theiler \(\mathfrak{o}\) ist; jedes Ideal, welches kein Hauptideal ist, kann als gemeinsamer Theiler zweier Hauptideale angesehen werden; jedes Ideal kann durch Potenzirung in ein Hauptideal verwandelt werden. Der Inbegriff aller Hauptideale bildet die Hauptklasse von Idealen. Kann man zwei Ideale \(\mathfrak{a}\) und \(\mathfrak{a}'\) durch Multiplication mit einem Ideal \(\mathfrak{m}\) in zwei Hauptideale \(\mathfrak{a}\mathfrak{m}\), \(\mathfrak{a}'\mathfrak{m}\) verwandeln, so gehören \(\mathfrak{a}\) und \(\mathfrak{a}'\) in eine Klasse. Die Anzahl dieser Idealklassen ist endlich bei endlichem Körper \(\mathfrak{o}\); die Methode zur Bestimmung derselben wird auf Dirichlet’schen Principien aufgebaut.
Zur allgemeinen Theorie kommen noch zwei Paragraphen, welche über die mit einem Körper verbundenen zerlegbaren Formen und über die von Dirichlet gegründete Theorie der Einheiten einiges sagen; dann wird die Untersuchung auf quadratische Körper beschränkt; von diesen werden die Primzahlmoduln und die Primideale besprochen, und die Composition quadratischer Formen, welche den Ausgangspunkt bildet, kann schliesslich vom Standpunkte der allgemeiner geführten Untersuchungen noch einmal behandelt werden.

MSC:

11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics