\input zb-basic
\input zb-ioport
\iteman{io-port 00052696}
\itemau{Michel, Jutta}
\itemti{Poncelet polygons and elliptic surfaces. (Poncelet-Polygone und elliptische Fl\"achen.)}
\itemso{Erlangen: Univ. Erlangen, 67 S. (1991).}
\itemab
Seien $C,D\subset\bbfP\sp 2(\bbfC)$ zwei glatte Quadriken in allgemeiner Lage und $d\in D$ ein Punkt. Von $d$ werde eine Tangente $T$ an $C$ gelegt. Der zweite Schnittpunkt $d'$ von $T$ und $D$ bestimmt eine weitere Tangente $T'$, die $D$ wiederum in einem Punkt $d''$ schneidet. F\"uhrt diese Konstruktion nach $n$ Schritten zum Ausgangspunkt $d$ zur\"uck, so erh\"alt man ein $C$ umschreibendes und in $D$ einbeschriebenes Polygon $T$, $T',\ldots,T\sp{(n)}$. Wenn ein solches Poncelet-$n$-Eck f\"ur die Quadriken $C$ und $D$ existiert, liefert die Konstruktion nach dem Satz von Poncelet unabh\"angig von der Wahl des Startpunktes $d\in D$ ein geschlossenes $n$-Eck. {\it P. Griffiths} und {\it J. Harris} geben in Enseign. Math., II. Ser. 24, 31-40 (1978; Zbl 0384.14009) explizite Bedingungen an $C$ und $D$, unter denen ein solches Poncelet-$n$-Eck existiert. In der vorliegenden Arbeit wird an Stelle der Quadrik $D$ die Familie ${\cal Q}$ aller Quadriken durch vier fest gew\"ahlte Punkte auf $C$ untersucht. Jede glatte Quadrik $Q\in{\cal Q}$ mit $Q\ne C$ definiert eine elliptische Kurve. Da sich die Familie ${\cal Q}$ durch $\bbfP\sp 1(\bbfC)$ parametrisieren l\"a{\ss}t, liefert diese Konstruktion eine Fl\"ache $X$ mit dem glatten Modell $\tilde X$ als elliptische Faserung \"uber $\bbfP\sp 1(\bbfC)$. Kapitel 2 besch\"aftigt sich mit der N\'eron-Severi-Gruppe des glatten Modells $\tilde X$. Dabei werden in 2.1 zun\"achst die Euler-Poincar\'e- Charakteristik als $\chi(\tilde X)=1$ sowie die Betti-Zahlen $b\sb 1$, $b\sb 2$ als $b\sb 1=0$ und $b\sb 2=10$ bestimmt. Die N\'eron-Severi- Gruppe von $\tilde X$ hat damit Rang 10. --- In 2.2 werden Kurven $C\sb 1,\ldots,C\sb{10}$ auf $\tilde X$ angegeben, die --- mit ganzzahligen Koeffizienten --- eine Untergruppe vom Index 8 der N\'eron-Severi-Gruppe erzeugen. Auf $\bbfP\sp 1(\bbfC)\times\bbfP\sp 1(\bbfC)$ werden in 2.3 zehn Kurven $B\sb 1,\ldots,B\sb{10}$ definiert, die die gesamte N\'eron- Severi-Gruppe von $\tilde X$ erzeugen, und $C\sb 1,\ldots,C\sb{10}$ als Linearkombination in diesen geschrieben. Kapitel 3.5 erm\"oglicht es, die Kurve der nicht-trivialen $n$-Torsionspunkte als Linearkombination der Kurven $C\sb 1,\ldots,C\sb{10}$, sowie $B\sb 1,\ldots,B\sb{10}$ zu schreiben.
\itemrv{~}
\itemcc{}
\itemut{Poncelet polygon; N\'eron-Severi group; torsion point}
\itemli{}
\end